Lo siento, no tengo claras estas preguntas.
¿por qué un conjunto vacío es tanto abierto como cerrado?
¿por qué el conjunto de todos los números reales es abierto y cerrado?
Por definición, un conjunto $A$ de los números reales es Abrir cuando se cumpla la siguiente condición: $$ \hbox{$ \para todo x\ en A, \exists\epsilon>0 $ such that $ (x-\epsilon,x+\epsilon)\Nsubconjunto A $,} $$ donde $(a,b)$ denota el intervalo abierto $\{x\in{\Bbb R}\,|\,a<x<b\}$ . No debería ser difícil convencerse de que los subconjuntos $A=\emptyset$ y $A={\Bbb R}$ satisfacen esta condición.
Entonces, recuerda que $$ \hbox{$ A $ is open $ \iff {\Bbb R}\setminus A $ is closed} $$ de nuevo por definición. Usted concluye que $\emptyset={\Bbb R}\setminus{\Bbb R}$ y ${\Bbb R}={\Bbb R}\setminus\emptyset$ .
No diría que por definición ya que la definición dada anteriormente está ligada a los espacios métricos mientras que ya existe una definición para los espacios topológicos.
Bueno, está claro que hay definiciones más generales de los espacios topológicos y métricos (y sus conjuntos abiertos) de los que éste no es más que un caso especial, pero mi intención era discutir lo más concretamente posible el caso planteado por el preguntante, asumiendo implícitamente que la topología considerada es la estándar.
Bueno, la definición de un espacio topológico $X$ especifica que tanto $X$ y el conjunto vacío deben ser conjuntos abiertos (si la topología se define en términos de conjuntos cerrados en lugar de abiertos, se estipulará que son cerrados). Pero entonces es sólo por definición que debe ser abierto (o cerrado).
A continuación, un conjunto $A$ se dice que es cerrado si y sólo si su complemento $X - A$ está abierto. Así que si se mira el conjunto vacío su complemento es $ X - \emptyset = X$ y $X$ es abierto por definición. Por lo tanto, el conjunto vacío es cerrado.
En mi opinión, las demás respuestas a esta pregunta son bastante pobres, ya que se limitan a citar la definición de topología que, efectivamente, afirma que todo el espacio y el conjunto vacío son abiertos y cerrados. La pregunta natural que sigue es: ¿por qué definirlo así?
La idea de topología proviene de los espacios métricos (de los cuales $\mathbb{R}$ es un ejemplo), y un enfoque es el siguiente: En los espacios métricos podemos hablar de convergencia de las secuencias (Si sabes lo que significa la convergencia en $\mathbb{R}$ puedes seguir esta explicación). En matemáticas solemos hablar de subconjuntos cerrados bajo una determinada operación, por ejemplo, un subespacio de vectores tiene que ser cerrado bajo la suma. Eso significa que si tomas dos vectores en ese subespacio, su suma tiene que estar también en ese subespacio. Lo mismo ocurre con la convergencia en los espacios métricos. Un subconjunto $A$ en un espacio métrico se llama cerrado si es cerrado bajo la operación de tomar límites. es decir: $$ (\forall n: a_n \in A) \implies \lim_n a_n \in A $$ (Si el límite existe). Es obvio que tanto el conjunto vacío como todo el espacio satisfacen esto (¿lo ves?) por lo que ambos son cerrados. Ahora se puede definir lo abierto como el complemento de un conjunto cerrado y se responde a tu pregunta.
La idea de la topología general es dar entonces una generalización abstracta de estos conjuntos cerrados (o de los conjuntos abiertos) que funciona mejor, por ejemplo, permite tomar productos de espacios que en los espacios métricos causa problemas. Esta generalización abstracta se hace observando algunos propiedades de conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos, y luego llamándolos una definición . Una de estas propiedades es que el conjunto vacío y todo el espacio son abiertos y cerrados. Así que para concluir, la definición general de una topología es grande, pero no para dar una respuesta (perspicaz) a esta pregunta
Esto debería ser bastante obvio. Toma $\mathbb{R}$ (junto con su topología equipada) por ejemplo. Tenemos: 1. Como la intersección finita de dos conjuntos abiertos es abierta, se deduce que $(1, 2) \cap (3, 4) = \emptyset$ debe estar abierto; El complemento de $\emptyset$ que es $\mathbb{R}$ debe estar cerrado;
2. Como toda unión de dos conjuntos abiertos es abierta, se deduce que $ (- \infty, 1) \cup (-1, + \infty) = \mathbb{R}$ es abierto; por la misma regla del complemento de nuevo, el complemento de $\mathbb{R}$ que es $\emptyset$ debe estar cerrado.
Espero que esto ayude.
$\emptyset$ está abierto. Por definición, $X$ está abierto si $\forall x\in X$ existe un conjunto abierto $U\subset X$ tal que $x\in U$ . Así que no tiene sentido $\emptyset$ la condición de la definición se satisface automáticamente (una convención lógica).
$\mathbb{R}$ está abierto (revisa la respuesta de Andrea), por lo que su complemento, $\emptyset$ está cerrado.
Por lo tanto, $\emptyset$ es tanto abierto como cerrado.
Bien, en la topología, $\emptyset$ y $\mathbb{R}$ son conjuntos abiertos, por los axiomas. Por definición de conjunto cerrado, $\emptyset=\mathbb{R}\setminus\mathbb{R}$ está cerrado. Esto simplemente reitera la respuesta de Adrian.
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