Límites en un sistema de EDOs acopladas.

Question

Supongamos que tenemos un $1$-dimensiones diferencial de la desigualdad

$$\frac{dx}{dt} \leq x - x^3 $$

Podemos aplicar la Comparación de principio a afirmar que si $y(t)$ es la solución a $\frac{dy}{dt} = y - y^3$, $x(t) \leq y(t)$ (asumiendo $x(0) \leq y(0)$. Podemos extender argumento similar a un $2$-dimensiones del sistema? Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones

$$\frac{dx_1}{dt}=x_1-x_2, \quad \quad \quad \frac{dx_2}{dt} \leq x_1 + x_2 - \frac{x_2^4}{x_1^2}$$

Es la solución a la siguiente

$$\frac{dy_1}{dt}=y_1-y_2, \quad \quad \quad \frac{dy_2}{dt} = y_1 + y_2 - \frac{y_2^4}{y_1^2}$$

relacionados con la solución del problema original. Específicamente, podemos aplicar la Comparación principio primero decir que $x_2(t) \leq y_2 (t)$ y, a continuación, utilice posteriormente para reclamar $x_1(t) \geq y_1(t)$?

Answer 1

No sé sobre el ejemplo que das. Sin embargo, la respuesta es "no" para los problemas generales, incluso si son lineales. Considerar la estructura:
\begin{align} x' &= f(x,y)\\ y' &=g(x,y) \leq h(x,y) \end{align} Específicamente, compare las siguientes dos sistemas:

Sistema 1

\begin{align} x' &= x-y\\ y' &= \underbrace{2x-y-1}_{g(x,y)} \end{align}

Sistema de 2

\begin{align} w' &= w-z\\ z' &= \underbrace{2w-z}_{h(w,z)} \end{align} Supongamos que las condiciones iniciales se $(x(0),y(0))=(w(0),z(0))=(0,0)$. A continuación, $(w(t),z(t))=(0,0)$ todos los $t \geq 0$. Sin embargo, $(x(t),y(t))$ tiene solución: \begin{align} x(t) &= 1-\cos(t)\\ y(t) &= 1-\sin(t) - \cos(t) \end{align} y, de hecho, $y(t)$ toma valores positivos y negativos sobre $t \in [0, \infty)$. Así que no podemos decir que $y(t) \leq \underbrace{z(t)}_{0}$ todos los $t$.