Una correspondencia uno a uno de los ideales en el cociente se extiende también a la primer ideales?

Question

Estoy empezando a aprender algo de grothendieck de la geometría algebraica y tengo una duda acerca de una propiedad de álgebra conmutativa.

Para una pers. anillo de $A$ y un ideal de a$I$$A$, ¿el uno-a-uno la correspondencia entre los ideales del cociente $A/I$ e ideales de $A$ contiene $I$ se extiende a una correspondencia de primer ideales ?

Mi conjetura sería que no, porque nunca he aprendido de él y no podía encontrarlo en internet. Sin embargo, ¿dónde está el error en :

Deje $I \leq J \leq A$ ser un ideal. Tenemos $J$ primer fib $A/J \cong (A/I) / (J/I)$ integral dominio iff $\bar{J} \leq A/I$ prime.

También alguien puede proporcionar un ejemplo contrario si esto no es cierto ?

Gracias !

Answer 1

No hay ningún error; el uno-a-uno, la inclusión de la preservación de la correspondencia entre los ideales de un anillo de $R$ que contienen el ideal $I$ e ideales del anillo cociente $R/I$ también se da una correspondencia entre el primer ideales.

Para la conmutativa con unidad caso, la prueba de que funciona.

Si desea una prueba para el caso más general, y para demostrar un poco más:

Definición. Deje $R$ ser un anillo, un ideal $I$ $R$ es completamente prime si y sólo si siempre que $ab\in I$, $a\in I$ o $b\in I$.

Definición. Deje $R$ ser un anillo, un ideal $I$ $R$ es primo si y sólo si siempre que $JK\subseteq I$ donde $J$ $K$ son ideales, $J\subseteq I$ o $K\subseteq I$.

Si $R$ es conmutativa, entonces un ideal es primo si y sólo si está totalmente prime. Los dos conceptos no son equivalentes arbitrarias de los anillos, aunque. Por ejemplo, en el anillo de $2\times 2$ matrices de más de un campo, la única ideales son la trivial ideal y el conjunto de anillo; en particular, el cero ideal es un alojamiento ideal, pero no es completamente prime porque se pueden encontrar dos distinto de cero matrices cuyo producto es la matriz cero.

Teorema. Deje $R$ ser un anillo y deje $I$ a ser un ideal de a $R$. A continuación, el natural de la correspondencia entre los ideales de $R$ que contengan $I$ e ideales de $R/I$ identifica el primer ideales con el primer ideales y se identifica completamente el primer ideales completamente con el primer ideales.

Prueba. Deje $J$ ser un ideal que contiene a $I$. Si $J$ es totalmente prime, supongamos que $a+I, b+I\in R/I$ son tales que $(a+I)(b+I)\in J/I$. A continuación,$ab+I\in J/I$, por lo tanto $ab\in J$ (desde $I\subseteq J$); desde $J$ es totalmente privilegiada, $a\in J$ o $b\in J$, lo $a+I\in J/I$ o $b+I\in J/I$. Por lo tanto, $J/I$ es totalmente privilegiada. Por el contrario, supongamos que $J/I$ es totalmente prime, y deje $a,b\in R$ ser tal que $ab\in J$. A continuación,$ab+I\in J/I$, por lo tanto cualquiera de las $a+I\in J/I$ o $b+I\in J/I$. Si $a+I\in J/I$, entonces no existe $i\in I$ tal que $a+i\in J$, por lo tanto $a\in J$ (desde $I\subseteq J$); igualmente, si $b+I\in J/I$,$b\in J$. Por lo tanto, $J$ es totalmente privilegiada.

Ahora supongamos que $J$ es un alojamiento ideal. Deje $K/I$ $L/I$ ser ideales de $R/I$ tal que $(K/I)(L/I)\subseteq J/I$, $K/I$ correspondiente a los ideales $K$ $R$ que contiene $I$, y el ideal de $L/I$ correspondiente a $L$. A continuación,$(K/I)(L/I) = (KL)/I\subseteq J/I$, por lo tanto, por la inclusión-la preservación de la correspondencia, $KL\subseteq J$, lo $K\subseteq J$ o $L\subseteq J$, por lo tanto $K/I\subseteq J/I$ o $L/I\subseteq J/I$. Por lo tanto, $J/I$ es un alojamiento ideal. Por el contrario, si $J/I$ es un alojamiento ideal, vamos a $K$ $L$ ser ideales que $KL\subseteq L$. A continuación, $K+I$ $L+I$ son ideales que contienen a $I$, e $(K+I)(L+I)=KL+KI+IL+I^2\subseteq KL+I\subseteq KL+J=J$; por lo tanto, $(K+I)/I$ $(L+I)/I$ son ideales de a $R/I$ cuyo producto está contenido en $J/I$, lo $K+I\subseteq J$ o $L+I\subseteq J$. Pero $K\subseteq K+I$$L\subseteq L+I$, lo $K\subseteq J$ o $L\subseteq J$. Por lo tanto, $J$ es primo. QED

Answer 2

Sí, este es un resultado estándar. La prueba es la misma que la de Zariski y Samuel, Conmutativa Álgebra I, S. 3.8, Teorema 11. Véase también el ligeramente más presentación general sobre la extensión y la contracción, p.9 en Atiyah y MacDonald, Introducción al Álgebra Conmutativa. $\ $ I no tuvo ningún problema para localizarlo mediante búsquedas en la web, por ejemplo, el Lema en la parte inferior de la p.8 Boocher notas.