Tres puntos distintos y sus líneas normales

Question

Supongamos Que tres puntos en la gráfica de $y=x^2$ tienen la propiedad de que su normal rectas se intersecan en un punto común. Demostrar que la suma de sus $x$-coordenadas es $0$.

Tengo mucho que hacer, pero no se puede terminar.

Prueba:

Vamos $(a,a^2)$, $(b,b^2)$, y $(c,c^2)$ tres puntos en $y=x^2$ tal que $a\not=b\not=c$.

Encontrar la tangente de la pendiente y la inclinación de sus líneas normales. $$(a,a^2) \hspace{4mm}m_{tan}=2a, \hspace{4mm} m_{norm}=\frac{-1}{2a}$$ $$(b,b^2) \hspace{4mm}m_{tan}=2b, \hspace{4mm} m_{norm}=\frac{-1}{2b}$$ $$(c,c^2) \hspace{4mm}m_{tan}=2c, \hspace{4mm} m_{norm}=\frac{-1}{2c}$$

Normal De La Línea De $(a,a^2)$

$y-a^2=-\frac{1}{2a}(x-a) \implies y=-\frac{1}{2a}x+\frac{1}{2}+a^2$

Normal De La Línea De $(b,b^2)$

$y-b^2=-\frac{1}{2b}(x-b) \implies y=-\frac{1}{2b}x+\frac{1}{2}+b^2$

Normal De La Línea De $(c,c^2)$

$y-c^2=-\frac{1}{2c}(x-c) \implies y=-\frac{1}{2c}x+\frac{1}{2}+c^2$

Encontrar el $x$-puntos de intercepción entre las líneas normales de $(a,a^2)$$(b,b^2)$.

$-\frac{1}{2a}x+\frac{1}{2}+a^2=-\frac{1}{2b}x+\frac{1}{2}+b^2 \implies x=-(b+a)2ab$

Encontrar el $x$-puntos de intercepción entre las líneas normales de $(a,a^2)$$(c,c^2)$.

$-\frac{1}{2a}x+\frac{1}{2}+a^2=-\frac{1}{2c}x+\frac{1}{2}+c^2 \implies x=-(c+a)2ac$

Encontrar el $x$-puntos de intercepción entre las líneas normales de $(b,b^2)$$(c,c^2)$.

$-\frac{1}{2b}x+\frac{1}{2}+b^2=-\frac{1}{2c}x+\frac{1}{2}+c^2 \implies x=-(c+b)2bc$

Mostrar que $a+b+c=0$ $$\begin{align} ....\\ ....\\ ....\\ \end{align}$$

No sé cómo demostrar que $a+b+c=0$. Algún consejo sobre cómo continuar? Gracias de antemano!

Answer 1

Puesto que todas las líneas normales se cruzan en un punto común que tiene $$-(b+a) 2ab =-(c+a) 2ac =-2bc (c + b), $ lo $$ b ^ 2a + a ^ 2b = c ^ 2a + un ^ c 2 = c ^ 2b + b ^ 2 c. $$ Ahora si $a=0$ $$ c ^ 2b + b ^ 2 c = 0\Rightarrow c =-b. $$ Si $a\neq0$, desde $b\neq c$, de la primera igualdad $$ (b^2-c^2)a=-a^2(b-c) \Rightarrow b + c =-a. $$

Answer 2

Michele Maschio respuesta recoge muy bien donde lo dejó, a pesar de que ni su solución parcial ni que la respuesta se aborda el caso de que uno de los puntos es el origen, donde la pendiente de la normal es indefinido. Este es un enfoque ligeramente diferente que no es necesario considerar que el caso por separado.

Si $y=f(x)$ es diferenciable en a $x=x_0$, entonces la ecuación de la recta normal a la curva en el punto de $(x_0,f(x_0))$$(x-x_0)+f'(x_0)(y-f(x_0))=0$. En contraste con la forma pendiente-intersección de la ecuación de una línea, de esta forma también es válido cuando se $f'(x_0)=0$. Para este problema, la ecuación es $$(x-x_0)+2x_0(y-x_0^2)=0$$ or, after rearranging a bit, $$x+2x_0y=x_0(1+2x_0^2).$$ The condition that the normals through three distinct points with $x$-coordinates $$, $b$ and $c$ gives us the system $$\begin{align}x+2ay&=a(1+2a^2)\\x+2by&=b(1+2b^2)\\x+2cy&=c(1+2c^2).\end{align}$$ Subtract the first equation from the other two to eliminate $x$: $$\begin{align}2(b-a)y&=2b^3-2a^2+b-a\\2(c-a)y&=2c^3-2a^3+c-a.\end{align}$$ Cross-multiply and subtract to eliminate $y$, producing $$\begin{align}0&=(c-a)(2b^3-2a^3+b-a)-(b-a)(2c^3-2a^3+c-a) \\ &=2a^3b-2ab^3+2b^3c-2bc^3+2c^3a-2ca^3 \\ &= 2(b-a)(c-b)(a-c)(a+b+c).\end{align}$$ The last two expressions have a satisfying symmetry that reflects the symmetry of the roles of the three points in the problem. Since the three points are distinct, we must have $a+b+c=0$ para nuestro sistema de ecuaciones a ser consistente.

Answer 3

$b^2a+a^2b=c^2a+a^2c=c^2b+b^2c\rightarrow b^2a+a^2b=c^2a+a^2c$

$\rightarrow b^2a-c^2a=-a^2b+a^2c\rightarrow (b^2-c^2)a=-a^2(b-c)$