Suma

Question

A continuación se da una serie.

PS

¿Puedes darme consejos para comenzar a encontrar su valor? Gracias.

Answer 1

Considere la expansión binomial de$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+...$ Multiplicando el término de la serie por el término por$2$

Al comparar,$nx=\frac{1}{3}$ y$\frac{n(n-1)}{2}x^2=\frac{5}{3.12}$

Resolviendo para$n,x$ obtenemos$n=\frac{-2}{3},x=\frac{-1}{2}$

Entonces la suma se convierte en$\{(\frac{1}{2})^{\frac{-2}{3}}-1\}=2^\frac{2}{3}-1=4^\frac{1}{3}-1$

ya que$2$ se ha multiplicado antes de dividir el resultado por$2$

Answer 2

$$ \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac12\prod_{i=1}^n\frac{3i-1}{6i} &=\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^nn!}\prod_{i=1}^n\frac{3i-1}{3}\\ &=\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(-2)^nn!}\prod_{i=1}^n\frac{1-3i}{3}\\ &=\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(-2)^nn!}\prod_{i=1}^n\left(\frac13-i\right)\\ &=\left[\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\prod_{i=1}^n\left(\frac13-i\right)\right]_{x=-1/2}\\ \end {align} $$

Ahora note que para$n\geq1$,$\prod_{i=1}^n\left(\frac13-i\right)=f^{(n)}(0)$, donde$f(x)=(x+1)^{-2/3}$. Podemos manipular la expresión un poco más para verla como una serie de Taylor para$f$.

$$ \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac12\prod_{i=1}^n\frac{3i-1}{6i} &=\left[\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\prod_{i=1}^n\left(\frac13-i\right)-\frac12\right]_{x=-1/2}\\ &=\left[\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)\right]_{x=-1/2}-\frac12\\ &=\frac12f(-1/2)-\frac12\\ &=\frac12(1/2)^{-2/3}-\frac12\\ &=\sqrt[3]{1/2}-\frac12\\ \end {align} $$