Vibraciones forzadas en un anillo / membrana anular.

Question

Estoy tratando de averiguar cómo resolver el siguiente problema: $$ \frac{ \partial^2 u }{\partial t^2 } = c^2 \nabla^2 + Q(x,y,t) , $$ en el cual tenemos las condiciones iniciales $u(x,y,0) = f(x,y)$ y $\frac{ \partial u }{ \partial t } (x,y,0) = 0 $. Estamos observando una membrana que es un anillo circular: $ a < r < b$ (con $u$ fijo en los límites: $u = 0 $ allí).

La solución general a este problema es que $$u(x,y,t) = \sum_{i} A_i (t) \phi_i (x,y) .$$ Aquí, $\phi_i$ son las funciones propias que resuelven $$ \nabla^2 \phi = - \lambda \phi . $$ Conozco estas funciones propias cuando la membrana es un rectángulo

( $ \phi_{nm} (x,y) = \sin (n \ pi x / L ) \cdot \sin (m \pi y / H) $ , en la que $n , m \in \mathbb{Z}_{>0} $) y cuando la membrana es un círculo con radio $a$ (ahora las funciones propias son : $\phi_m = J_m (z_{n m } r / a) \sin (m \theta) $, donde $J$ es la función de Bessel.

Pero no sé cómo encontrar las funciones propias para esta membrana en particular. ¿Puedes ayudarme?

Answer 1

Disculpa por hacer una promesa tarde. Estoy reescribiendo tu $\nabla^2 = \Delta$ aquí.

Así que ahora queremos resolver el problema de autovalores en este anillo: $$ \Delta w + \lambda w = 0 . $$ Supongamos que $w$ es separable en coordenadas polares: $$w(x,y) = W(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta).$$ Hasta este punto es bastante estándar, siendo lo mismo que con el disco (en tu pregunta el segundo caso, debería ser un disco, si es un círculo $\mathbb{S}^1$ entonces la función propia sería simplemente $e^{i m\pi\theta}$). Ahora para el anillo la condición límite debería ser $$ R(a) = R(b) = 0, $$ junto con la condición periódica: $$ \Theta(\theta+2\pi) = \Theta(\theta). $$ El operador laplaciano en el sistema de coordenadas polares en 2 dimensiones es: $$ \Delta w = \frac{\partial^2 w}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial w}{\partial r } + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 w}{\partial \theta^2} . $$ Por lo tanto: $$ \Big(r^2 R'' + rR' + (\lambda r^2-k^2)R\Big)\Theta + (\Theta''+k^2\Theta)R = 0. $$ Observa que queremos hacer que el término $k^2$ de $\Theta$ sea positivo debido a su propiedad de periodicidad. La solución para $ r^2 R'' + rR' + (\lambda r^2-k^2)R = 0 $ es la superposición de la función de Bessel de primera y segunda clase: $$ R_k = \alpha_k J_k(\sqrt{\lambda} r) + \beta_k Y_k(\sqrt{\lambda} r). $$ La solución para $\Theta''+k^2\Theta = 0$ es simplemente $$ \Theta_k = a_k \sin(k\theta)+b_k \cos(k\theta). $$ Estableciendo la condición límite para $R_k$ lleva a: $$ \alpha_k J_k(\sqrt{\lambda} a) + \beta_k Y_k(\sqrt{\lambda} a) = 0, \\ \alpha_k J_k(\sqrt{\lambda} b) + \beta_k Y_k(\sqrt{\lambda} b) = 0. $$ La eliminación de los coeficientes nos da una ecuación que el autovalor $\lambda$ debe satisfacer: $$ \color{blue}{J_k(\sqrt{\lambda} a)Y_k(\sqrt{\lambda} b) - J_k(\sqrt{\lambda} b)Y_k(\sqrt{\lambda} a) =0 }. $$ Luego, buscar una forma cerrada para $\lambda$ es casi imposible, normalmente las personas comienzan a utilizar procedimientos numéricos a partir de este punto. Por último, la función propia será dada por $\phi_k = R_k \Theta_k$.