Hom secuencia exacta implica secuencia exacta

Question

Probar que la secuencia $0 \to A \xrightarrow{\alpha} B \xrightarrow{\beta} C \to 0$ es exacta si la secuencia $0 \to \hom_R(C,N) \xrightarrow{\bar \beta} \hom_R(B,N) \xrightarrow{\bar \alpha} \hom_R(A,N) \to 0$ es exacta.

Yo he averiguado todas las piezas excepto mostrando $ker(\beta) \subset im(\alpha)$. Alguien sugirió que considero cuando $N = B/im(\alpha)$ jugado con él un poco pero no pude obtener el resultado que quería.

Answer 1

Para mostrar el % restante de la parte $\ker \beta\subseteq \operatorname{im} \alpha$, que $N=B/ \operatorname{im}\alpha$ y $f\colon B\to N$ ser la proyección canónica. A continuación, $\bar{\alpha} f=f\alpha=0$, que $f\in\ker \bar{\alpha}=\operatorname{im}\bar{\beta}$, que $f=\bar{\beta} g=g\beta$ $g$. Entonces $\ker \beta\subseteq\ker f=\operatorname{im}\alpha$.

Answer 2

Lo que sigue es mi examen, me corrijan si hay errores: ya que tienes solo falta mostrar $ker(\beta) \subset im(\alpha)$, que $im(\alpha)$ es en $ker(\beta)$ y $im(\alpha) \not = ker(\beta)$, entonces tienen dos exactas secuencia: $$0 \rightarrow A \stackrel{\alpha}{\longrightarrow}ker(\beta) \rightarrow ker(\beta)/im(\alpha) \rightarrow0$$ $$0 \rightarrow ker(\beta) \rightarrow B \stackrel{\beta}{\longrightarrow} C \rightarrow 0$$.Since $ Hom(-,I) $ is contravariant exact functor for injective modules $ I $, then we get that $$(1) 0 \rightarrow Hom(ker(\beta)/im(\alpha),I) \rightarrow Hom(ker(\beta),I) \rightarrow Hom(A,I) \rightarrow0$$ $% $ $(2)0 \rightarrow Hom(C,I) \rightarrow Hom(B,I) \rightarrow Hom(ker(\beta),I)\rightarrow 0$para cualquier módulos inyectiva $I$. Ahora toma $I$ a ser la envoltura inyectiva de $ker(\beta)/im(\alpha)$, por lo que el segundo término de $(1)$ no es cero. Por lo tanto, $Hom(ker(\beta),I) \not\cong Hom(A,I)$, luego por (2), obtenemos una contradicción.