¿Es $f(0) + \sum_{n=1}^\infty f(n) - f(n-1)$ $\lim_{x\to\infty} f(x)$ o $0$?

Question

Si tengo una suma para que me quite la iteración anterior cada vez, entonces me he quedado con sólo la última iteración de la suma: $$f(0) + \sum_{n=1}^x f(n) - f(n-1) = f(x)$$

Si esto iba a ser una suma de los infinitos términos, entonces me quedo con la $\infty$th iteración, que también puede ser escrito como un límite: $$\lim_{x\to\infty} f(x)$$

Esta suma también se puede dividir en dos sumas hasta el infinito, que da la siguiente: $$f(0) + \sum_{n=1}^\infty f(n) - \sum_{n=1}^\infty f(n-1)$$ Yo podría entonces que reescribir como: $$\sum_{n=0}^\infty f(n) - \sum_{n=0}^{\infty-1} f(n)$$

Debido a $\infty - 1$ da $\infty$, la suma de dos cancelar, dar $0$.

¿Dónde está el error?

Answer 1

Rompiendo en dos la serie sólo tiene sentido si $\sum\limits{n=0}^\infty f(n)$ converge. Y si converge, entonces $\lim\limits{n\to\infty}f(n)=0$. Por lo tanto no hay ninguna inconsistencia aquí.