Consideremos la siguiente ecuación:
El problema
$$ \begin{cases} -\operatorname{div}\left( p\left(x\right) \nabla{u} \right) + q(x)u = f \quad\text{... on } \Omega \\ u = h(x) \quad\text{... on } \partial\Omega \end{cases} $$
donde
- $u \in W^{1,2}(\Omega)$
- $u-u_0 \in W^{1,2}_0 \text{, so that } u_0 \in W^{1,2}(\Omega) : Tu_0 = h \in L^2(\partial\Omega)$ (T es un rastro)
- $f \in L^2(\Omega)$
- $p,q \in L^\infty(\Omega)$
tiene la siguiente solución:
$$ \forall v \in W^{1,2}_0(\Omega): \int_\Omega \left( p(x) \nabla u \nabla v + q(x)uv \right)\,dx = \int_\Omega f v \, dx $$
Sé que $L^p$ son integrables de Lebesgue y tienen la siguiente norma:
$$ || \cdot ||_p = \left( \int_\Omega |f|^p d\lambda \right)^{\frac{1}{p}} $$
También sé que los espacios de Sobolev son la terminación de la $C^\infty(\overline{\Omega})$ y tienen la norma:
$$ || \cdot ||_{k,p} = \left( \sum_{|\alpha| \leq k} \int_\Omega |D^\alpha f |^p d\lambda \right)^{\frac{1}{p}} $$
Pero, no entiendo, por qué $u$ pertenece a $W^{1,2}$ específicamente, por qué $h$ y f pertenecen a $L^2$ y por qué $p$ y $q$ pertenecen a $L^\infty$ . ¿Podría, por favor, explicármelo de forma un poco intuitiva? (por ejemplo, muéstrame algunos ejemplos en los que $L^1$ espacio no sería adecuado en lugar de $L^2$ etc.)
