¿Existe $g$s.t $g'=f$?

Question

Tengo la siguiente pregunta de la tarea:

Sea G será la delimitada conjunto abierto se muestra en gris en esta imagen, cuya límite consta de ocho segmentos de línea. Los extremos de los segmentos, como se muestra, los puntos de $-2,-1,-1+4i,1+4i,1,2,2+5i,-2+5i$.

Deje $f:\, G\to\mathbb{C}$ ser una función arbitraria que es holomorphic en $G$. No hay una función de $g:\, G\to\mathbb{C}$ que satisface $g'(z)=f(z)$ todos los $z\in G$ ? una herramienta que pueda ser útil aquí es la Identidad Teorema.

Lo que yo hice:

Creo que se puede construir una función de este tipo, pero no estoy seguro de si mi construcción es correcta:

Me gustaría tener alguna secuencia de puntos de $\{z_{i}\}_{i=1}^{\infty}$, s.t no existe $\{r_{i}\}_{i=1}^{\infty}$ s.t $D(z_{i},r_{i})\subseteq G$ y s.t $$\cup_{i=1}^{\infty}D(z_{i},r_{i})=G$$

Creo que una secuencia de puntos pueden ser obtenidos mediante la elección de todos los puntos de $x+iy\in G$ s.t $x,y\in\mathbb{Q}$.

Por otra parte, creo que los puntos pueden ser arreglados s.t $$D(z_{i},r_{i})\cap D(z_{i+1},r_{i+1})\neq\emptyset$$

Considerar en primer lugar $D(z_{0},r_{0})$ - hay algo de $g_{0}:\, D(z_{0},r_{0})\to\mathbb{\mathbb{C}}$ s.t $g_{0}'=f$ $D(z_{0},r_{0})$ , ya que el $f$ es holomorphic.

Continuamos con $z_{1}$y consigue $\widetilde{g_{1}}$, ya que el $g_{0}'=\widetilde{g_{1}}'$ para todos los puntos en $D(z_{0},r_{0})\cap D(z_{1},r_{1})$ $g_{0}-\widetilde{g_{1}}$ es una constante $c$, y podemos elegir el $g_{1}=\widetilde{g_{1}}+c$. Tomamos $g(z)$ será finalmente definidos para cada $z\in G$ una de las $g_{i}$'s.

Esta construcción parece un poco sospechoso para mí, no estoy seguro acerca de la "por otra parte" la parte e incluso si es así, no estoy totalmente convencido de que puede organizar las constantes de fit para obtener una holomorphic función de $g$.

AÑADIÓ:

En lugar de $$D(z_{i},r_{i})\cap D(z_{i+1},r_{i+1})\neq\emptyset$$ nos podemos relajar la condición de ser $$\cup_{i=1}^{r}D(z_{i},r_{i})\cap D(z_{i+1},r_{i+1})\neq\emptyset$$

Es mi construcción correcta ?

Yo también agradecería a ver otro enfoque (tal vez uno que utiliza el Teorema de Identidad como sugerido)

Answer 1

Usted no necesita tantos discos. La región de $G$ es la unión de tres rectángulos $R_i$ de intersección de dos plazas $Q_1=R_1\cap R_2$$Q_2=R_2\cap R_3$. En cada una de las $R_i$ la función dada $f$ tiene una primitiva $F_i$, por el más elemental de la versión de Cauchy teorema. En $Q_1$ la función de $F_2-F_1$ tiene derivada cero, por lo que es una constante $c_1$, y del mismo modo en $Q_2$ la función de $F_3-F_2$ es una constante $c_2$. De ello se sigue que la función $$F(z):=\cases{F_1(z)+c_1\quad&$(z\in R_1)$ \cr F_2(z)\quad&$(z\in R_2)$ \cr F_3(z)-c_2\quad&$(z\in R_3)$ \cr}$$ es un lugar bien definido primitivo de $f$$G$.

Por supuesto, la observación de que $G$ es simplemente conectado hace que todo lo anterior superfluo. Se trata de un estándar teorema de análisis complejo que una función $f$ holomorphic en un simplemente conectado (es decir, sin agujeros) dominio de $G$ tiene una primitiva en $G$.