Prueba de que un conjunto es infinito si y solamente si tiene un subconjunto apropiado de infinito

Question

Leí en alguna parte que un conjunto es infinito si y sólo si tiene una adecuada subconjunto infinito. También recuerdo ver someones nombre asignado a este teorema en la Wikipedia una vez, pero no puedo encontrar incluso que ahora. No he sido capaz de encontrar una prueba de este teorema, ni ha sido capaz de generar uno mismo.

Puedo demostrar que si un conjunto tiene una infinita subconjunto, a continuación, ella misma es infinita por probar el contrapositivo de que si un conjunto es finito, entonces no tiene ningún infinitos subconjuntos (esto es una simple contradicción de la prueba).

Pero no puedo averiguar cómo, dado cualquier conjunto infinito, la construcción de una adecuada subconjunto infinito. ¿Esto requiere el Axioma de Elección? Realmente no puedo entender cómo hacer con eso. Una prueba o una referencia a una prueba sería muy apreciada.

Answer 1

No requiere el axioma de elección. Eliminar un punto.

Si quieres un countably infinito subconjunto de todo conjunto infinito, creo que es necesario para el uso (o, al menos, la prueba usual de usa) el axioma de contables elección.

Sin embargo, tal vez usted está pensando de la condición de Dedekind infinito, como se mencionó en Adrián Barquero del comentario. No desea no sólo un infinito subconjunto, pero un subconjunto que es en bijection con el conjunto. Esto puede ser demostrado mediante la existencia de un countably subconjunto infinito, así que de nuevo los usos contables elección.

Answer 2

Nota: voy a agregar a mi comentario original como una respuesta a la OP sugerencia.

Creo que esta noción de conjunto infinito se llama un Dedekind conjunto infinito. El artículo de la Wikipedia indica algunas condiciones equivalentes a las de la sección de Dedekind conjuntos infinitos en ZF , donde se dice explícitamente que el Axioma de Elección no está obligado a probar su equivalencia. En particular, una de las condiciones equivalentes para $A$ a Dedekind infinito es que $A$ tiene un countably subconjunto infinito.

Answer 3

Un infinito de Dedekind fijar trivial tiene seguramente un infinito subconjunto apropiado: su imagen bajo la función biyectiva que se requiere para ser Dedekind infinito.