¿Suma de las entradas de energías de la matriz simétrica relacionadas valores propios?

Question

Quiero probar:

Para cualquier matriz simétrica $A$ con no negativo de las entradas, la suma (suma de todas las entradas) de $A^n$ es igual a la suma de los $n$th poderes de los autovalores de a $A$.

Prueba de dibujo:

Diagonalize la matriz. Sabemos que podemos, porque es simétrica y todas las entradas son positivos o cero. Decir $S$ es la diagonalización de la matriz (es decir, la combinación de todos los vectores propios), por lo que el $B = S^{-1} A S$ es una matriz diagonal con los valores propios de a $A$ en la diagonal. A continuación, $$A^n = ({S B S}^{-1})^n = {S B^n S}^{-1}$$ así $$grandsum(A^n)=grandsum({S B^n S}^{-1}) \stackrel{?}{=} grandsum(B^n) = trace(B^n) = \sum_{a \in eigvals(A)}{a^n}$$

La única cosa que me falta para completar la prueba es demostrar que la suma de ${S B^n S}^{-1}$ es la suma de $B^n$. Mi pensamiento es que la diagonalización no se debe cambiar la magnitud de $A$ pero no sé cómo expresar esto.

Answer 1

Esto es incorrecto ya que $n=1$, donde, por ejemplo, $\pmatrix{1&1\1&1}$ tiene valores propios $0$ y $2$ pero la suma de las entradas es $4$.

Answer 2

La afirmación es falsa. Para empezar, busque $n=1$ y casi cualquier matriz $A$, decir $A=\begin{bmatrix}1&2\2&1\end{bmatrix}$ (o cualquier matriz simétrica de diagonal no).

% Matriz $A$, la suma de sus valores propios es igual a su rastro $\operatorname{tr}(A)=a{11}+a{22}+\cdots+a_{nn}$. Como tienes distinto de cero elementos fuera de la diagonal principal, es decir, si tu matriz no es diagonal, la afirmación de no es verdad.