Fourier transforma en espaciotiempos curvos

Question

Cuando en un espacio-tiempo plano, uno puede utilizar la identidad

$$\int^\infty{-\infty} d^3k~ e^{i \bf{ k \cdot r}} f(k)=\int^\infty{-\infty} dk ~ k f(k)\sin(kr) $$

¿Generalizar esto a espaciotiempos curvos, por ejemplo de Sitter?

Answer 1

No tengo conocimiento de una generalización de la transformada de Fourier para arbitrario de Riemann colectores. Pero puede ser generalizada en el contexto de la Mentira de los grupos, que por supuesto, son los colectores, por definición.

Para ciertos grupos, si $f$ es algo de la función en $L^1(G)$, podemos definir una transformada de Fourier $\hat f$ sobre el Pontryagin dual $\hat G$,

$$\hat f(\chi) = \int_G f(x)\overline{\chi(x)} \, \mathrm d\mu$$

el uso de la medida de Haar, donde $\chi$ es el carácter. Considerando $U(1)$, se puede recuperar estándar de análisis de Fourier. Este procedimiento también desciende a grupos finitos:

Si $\rho : G \to \mathrm{GL}(V_\rho)$ es una representación, y $\varphi$ es una función en $G$, podemos definir la transformada de Fourier $\varphi(\rho)$$\mathrm{End}(V_\rho)$,

$$ \hat\varphi(\rho) = \sum_{g\in G} \varphi(g)\rho(g).$$

Espero que esto le pueda ser de utilidad.