Teorema binomial para exponente primo

Question

¿Podrías explicarme por qué para un primo $p$ tenemos lo siguiente?

$$(x+y)^p - (x^p + y^p)= x^p + \binom{p}{1}x^{p-1}y + \binom{p}{2}x^{p-2}y^2 + \binom{p}{p-1}xy^{p-1} + y^p.$$

Lo encontré aquí: Álgebra Abstracta - Soluciones a Tareas (pdf), solución 5d, página 3.

Realmente apreciaría tu ayuda.

Gracias.

Answer 1

Según lo escrito, lo que está en las notas es incorrecto. Deberíamos tener \begin{align*} (x + y)^p - (x^p + y^p) &= x^p + \begin{pmatrix} p\\ 1\end{pmatrix}x^{p - 1}y + \begin{pmatrix} p\\ 2\end{pmatrix} x^{p - 2}y^2 + \ldots + \begin{pmatrix} p\\ p - 1\end{pmatrix}x y^{p - 1} + y^p - (x^p + y^p)\\ &= \begin{pmatrix} p\\ 1\end{pmatrix}x^{p - 1}y + \begin{pmatrix} p\\ 2\end{pmatrix} x^{p - 2}y^2 + \ldots + \begin{pmatrix} p\\ p - 1\end{pmatrix}x y^{p - 1}\\ &= \sum_{k = 1}^{p-1}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}x^{p - k} y^k. \end{align*> Sólo puedo asumir que el escritor de las notas tuvo hambre y se fue a mitad de escribir las soluciones, y olvidó escribir unos cuantos términos ($\ldots$) al regresar.