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¿Goldbach ' conjetura de s puede ' t ser demostrado para ser indecidible?

Conjeturas sobre naturales números que podría ser solucionado mediante un contraejemplo pueden, como hasta aquí lo entiendo, no se demostró para ser indecidible sin ser demostrado no tener un contraejemplo a la vez. ¿O?

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Kyle Gannon Puntos 2992

Si la conjetura de Goldbach es indecidible (independiente) de PA, entonces es cierto para el modelo estándar de la aritmética, es decir, el modelo de $(\mathbb{N}, +, \times, 0, 1, <)$ con su normal interpretaciones.

Prueba: Recordar que $\mathbb{N}$ es el primer modelo de PA, (es decir, que se incorpora en cada modelo de $M$ tal que $M\models$ PA). Más aún, $\mathbb{N}$ es el segmento inicial de todos los modelos de PA. Suponiendo que $GC$ es independiente de la PA, se nota que PA + $GC$ y PA + $\neg GC$ son consistentes. Entonces, por Gödel integridad del teorema, existe modelos de $M_1$ $M_2$ tal que $M_1 \models$ PA + $GC$ $M_2 \models$ PA + $\neg GC$. Supongamos que $\mathbb{N} \models$ PA + $\neg GC$. Entonces, existe algún elemento $a \in \mathbb{N}$ tal que $a$ no puede ser escrito como la suma de dos números primos. Desde $\mathbb{N}$ es el primer modelo de PA, recordamos el hecho de que $\mathbb{N}$ incrusta en todos los modelos de arithemtic. Por lo tanto, si $\varphi(x)\equiv$ "$x$ no puede ser escrito como la suma de dos números primos", y $\mathbb{N} \models \varphi(a)$.

Por arriba, nos demostró que no existe un $M_1$ tal que $M_1 \models $ PA + $GC$. Sin embargo, desde la $\mathbb{N}$ incrusta en $M_1$, observamos que $M_1 \models \varphi(\pi(a))$ (donde $\pi$ es la incrustación de objetos). Sin embargo, esto implica que el $M_1\models \neg GC$ lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, si $GC$ es independiente de la PA, a continuación,$\mathbb{N}\models GC$.

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