Conjeturas sobre naturales números que podría ser solucionado mediante un contraejemplo pueden, como hasta aquí lo entiendo, no se demostró para ser indecidible sin ser demostrado no tener un contraejemplo a la vez. ¿O?
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Kyle Gannon
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Si la conjetura de Goldbach es indecidible (independiente) de PA, entonces es cierto para el modelo estándar de la aritmética, es decir, el modelo de $(\mathbb{N}, +, \times, 0, 1, <)$ con su normal interpretaciones.
Prueba: Recordar que $\mathbb{N}$ es el primer modelo de PA, (es decir, que se incorpora en cada modelo de $M$ tal que $M\models$ PA). Más aún, $\mathbb{N}$ es el segmento inicial de todos los modelos de PA. Suponiendo que $GC$ es independiente de la PA, se nota que PA + $GC$ y PA + $\neg GC$ son consistentes. Entonces, por Gödel integridad del teorema, existe modelos de $M_1$ $M_2$ tal que $M_1 \models$ PA + $GC$ $M_2 \models$ PA + $\neg GC$. Supongamos que $\mathbb{N} \models$ PA + $\neg GC$. Entonces, existe algún elemento $a \in \mathbb{N}$ tal que $a$ no puede ser escrito como la suma de dos números primos. Desde $\mathbb{N}$ es el primer modelo de PA, recordamos el hecho de que $\mathbb{N}$ incrusta en todos los modelos de arithemtic. Por lo tanto, si $\varphi(x)\equiv$ "$x$ no puede ser escrito como la suma de dos números primos", y $\mathbb{N} \models \varphi(a)$.
Por arriba, nos demostró que no existe un $M_1$ tal que $M_1 \models $ PA + $GC$. Sin embargo, desde la $\mathbb{N}$ incrusta en $M_1$, observamos que $M_1 \models \varphi(\pi(a))$ (donde $\pi$ es la incrustación de objetos). Sin embargo, esto implica que el $M_1\models \neg GC$ lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, si $GC$ es independiente de la PA, a continuación,$\mathbb{N}\models GC$.
