¿Cuál es el radio de convergencia de una serie determinada?

Question

Considere la posibilidad de $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{(n+1)^2}$$ which by the ratio test the ratio of two consecutive terms converges to $|x|$ as $n\rightarrow \infty$ and has a radius of convergence equal to $1$.

Ahora considere la posibilidad de $$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(2^n+n^2)x^n$$ which by the ratio test the ratio of two consecutive terms converges to $2|x|$ as $n\rightarrow \infty$ and has a radius of convergence equal to $\frac{1}{2}$.

Mi pregunta es ¿por qué el radio de convergencia de la toma estos valores ($1$ para el primero y el $\frac{1}{2}$ para la segunda)?

Usted tiene mi simpatía si esto es descaradamente obvio, pero no está claro para mí. Así, podría alguien por favor explique en inglés sencillo ¿por qué el radio de convergencia se tiene los valores de arriba?

O, dicho de otro modo, a partir de la segunda sumatoria se conocen por la relación de la prueba de que la relación de dos de sus términos consecutivos converge a $2|x|$ $n\rightarrow \infty$ cómo, a continuación, proceder a determinar el radio de convergencia?

Muchas gracias.

Answer 1

La fórmula para el Radio de Convergenciade $$ \sum_{n=0}^\infty a_nx^n $$ es $$ R=\left(\limsup_{n\to\infty}\left|a_n\right|^{1/n}\right)^{-1} $$ Esta fórmula se obtuvo mediante la Prueba de razón.

Es bastante fácil de aplicar esto a la serie en cuestión.

$$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\left(\frac1{(n+1)^2}\right)^{1/n} &=\lim_{n\to\infty}(n+1)^{-2/n}\\ &=\left(\lim_{n\to\infty}n^{1/n}\right)^{-2}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{-2/n}\\[9pt] &=1^{-2}\cdot1^0\\[12pt] &=1 \end{align} $$ dando un radio de convergencia de $1$.

Asimismo, $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\left(2^n+n^2\right)^{1/n} &=2\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{n^2}{2^n}\right)^{1/n}\\ &=2\cdot1^0\\[6pt] &=2 \end{align} $$ dando un radio de convergencia de $\frac12$.

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Como usted dice, en la segunda serie, el cociente de los valores absolutos de los términos tiende a $2|x|$. Para la serie converge, la relación debe ser $\le1$. Por lo tanto, necesitamos $|x|\le\frac12$. Por lo tanto, el radio de convergencia es $\frac12$.

Answer 2

Un aspecto interesante es evaluar la serie de la cuestión. Considerar\begin{align} S{1}(x) &= \sum{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \, x^{n}}{(n+1)^{2}} \ S{2}(x) &= \sum{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \, (2^{n} + n^{2}) \, x^{n}. \end {Alinee el} la primera serie:\begin{align} \partial{x} \left(x \, S{1}(x) \right) &= \sum{n \geq 0} \frac{(-1)^{n} \, x^{n}}{n+1} = \sum{n \geq 1} \frac{(-1)^{n-1} \, x^{n-1}}{n} = \frac{\ln(1+x)}{x}. \end {Alinee el} o $$S{1}(x) = - \frac{1}{x} \, Li{2}(-x),$ $ $Li{2}(x)$ Dónde está la función dilogarithm. La segunda serie sigue de %#% $ #% y se ve que es $$\sum{n=0}^{\infty} n^{2} \, x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}$ $