Cómo analizar lógicamente la declaración: "Nadie en la clase de cálculo es más inteligente que todos los miembros de la clase de matemáticas discretas".

Question

Soy auto-estudio de Daniel Velleman "Cómo demostrarlo".

En los ejercicios de la sección 2.1, para la pregunta # 1b, me dieron una respuesta diferente de lo que él hizo (la respuesta está en la parte posterior de este libro).

Yo creo que mi respuesta es equivalente a la de él, y yo también creo que veo a otro equivalente respuesta.

Pero ya estoy aprendiendo, yo no soy lo suficientemente seguro de que mis respuestas son realmente equivalentes, por lo que espero que alguien aquí me puede ayudar.

La pregunta es "analizar la forma lógica" de la siguiente declaración: "Nadie en la clase de cálculo es más inteligente que todo el mundo en el discretos en la clase de matemáticas."

Velleman la respuesta es: $$ \lnot \exists x (C(x) \de la tierra \forall y (D(y) \S(x,y)))) $$

Yo lo puedo ver, pero parece que el siguiente están muy bien también. De hecho, a mí me parece que usted tiene la opción de elegir si usar o no Si-Entonces, en todos, y si usted quiere usar, tiene 2 lugares diferentes donde se podría poner.

Es esto correcto? $$ \lnot \exists x (C(x) \de la tierra (\forall y (D(y) \de la tierra S(x,y)))) $$

Y es esta también la correcta? $$ \forall x (C(x) \(\lnot \forall y D(y) \de la tierra S(x,y))) $$

EDIT: he Aquí un tercer intento, añadió más tarde. Es un equivalente de esta? $$ \forall x (C(x) \a \existe y (D(y) \de la tierra S(y, x))) $$ donde S(y,x), se define como "y es tan inteligente tan o más inteligentes que x"

Si estos no son correctos, por favor, que me ayude a entender por qué no?!?!*

Gracias.

Answer 1

La primera de las alternativas propuestas, dice que

No hay ninguna persona $x$ que es tanto en la clase de cálculo, y para los cuales se cumple que:

"cada persona $y$ es tanto en el discretos en la clase de matemáticas y es mas tonto que $x$".

La segunda dice que

Para cualquier persona $x$, si están en la clase de cálculo, entonces es que no se el caso de que

"cada persona $y$ es tanto en el discretos en la clase de matemáticas y es mas tonto que $x$".

Mientras exista al menos una persona que no está en los discretos clase de matemáticas, entonces estos dos alternativas propuestas será necesariamente verdadera, mientras que la declaración original todavía puede ser falso; por lo tanto, no son equivalentes.

Answer 2

Como regla general, la mayoría (negado) universal frases en inglés se traduce como un (negado) universal condicional, mientras que (negado) existencial frases que será traducido como (negado) existencial de la conjunción. Si usted consigue universal conjunciones o existencial condicionales en su traducción, entonces es posible que desee comprobar la respuesta. Por ejemplo, el universal fragmento de su primera respuesta, "$\forall y (D(y) \wedge S(x,y))$," se traduce como "Todo el mundo está en la clase de matemáticas discretas y $x$ es más inteligente que todos," mientras que usted quería decir "$x$ es más inteligente que cualquiera que esté en el discretos en la clase de matemáticas," o, equivalentemente, "Todo el que está en los discretos a la clase de matemáticas es tal que $x$ es más inteligente que ellos."

En general, si tu nivel de inglés frase que tiene la forma de "Todo lo que es$\phi$$\psi$, "su traducción va a ser a lo largo de las líneas"$\forall x (\phi \rightarrow \psi)$", mientras que"$\forall x (\phi \wedge \psi)$", dice, "Todo lo que es tanto $\phi$$\psi$", que es un reclamo mucho más fuerte. Del mismo modo, "$\phi$ $\psi$ " se traduce como "$\exists x (\phi \wedge \psi)$", mientras que"$\exists x (\phi \rightarrow \psi)$", dice, "es Algo tal que si s $\phi$, entonces es $\psi$," o más bien "Algo es el no $\phi$ o $\psi$," que es mucho más débil demanda. "Nadie es $\phi$ $\psi$" se suele traducir como "$\forall x (\phi \rightarrow \neg\psi)$". Pero no son equivalentes formulaciones de cada una de estas frases así.

Tu editado respuesta es casi correcta. Sin embargo, "$S(y,x)$" no es lógicamente equivalente a "$\neg S(x,y)$", y desea que el efecto que su $x$ es sólo no es más inteligente que su $y$. Pero si usted acaba de reemplazar "$S(y,x)$" con "$\neg S(x,y)$", entonces la respuesta será correcta. También es aceptable una traducción de esta frase son:

• $\forall x (C(x) \rightarrow \neg \forall y(D(y) \rightarrow S(x,y)))$
• $\neg \exists x(C(x) \wedge \neg \exists y (D(y) \wedge \neg S(x,y)))$

Answer 3

Estoy familiarizado con este libro. Los problemas en esta sección se te prepara para las manipulaciones que vienen en las siguientes secciones. Si usted no ha conseguido hasta ahora, es difícil dar una explicación utilizando las muy pocas herramientas desarrolladas hasta este punto en el texto. La buena noticia es que incluso si usted no recibe este problema, ya que de continuar en el libro van a conocer y con el tiempo va a hacer sentido.

Por desgracia ninguna de sus soluciones alternativas es la correcta. Usted realmente necesidad de una implicación, no $\wedge$. Resulta que $x\rightarrow y$ es equivalente a $\neg x \vee y$, mientras que usted tiene $x\wedge y$, que es bastante diferente.

Como la solución que señala, en ciertas situaciones la solución difiere de la original.