Negatividad en un modelo CIR discretizar por expansión de Taylor de Ito

Question

Deje $X = (X_t: t \in [0,T])$ ser un proceso estocástico en la satisfacción de un modelo CIR $$ dX_t = \beta (X_t - \gamma) dt + \sigma\sqrt{X_t} dB_t, $$ donde $B_t$ es un estándar de movimiento Browniano, $\beta$ es una negativa constante, $\gamma, \sigma$ son constantes positivas. En orden para la SDE sentido, se asume que el $X_t > 0$ todos los $t \in [0,T]$.

Tenga en cuenta las siguientes dos maneras de simular el modelo basado en la discretización de $t$ con Ito-expansión de Taylor:

1. el esquema de Euler: $$ X_{t + \Delta} \approx X_t + \beta(X_t - \gamma)\Delta + \sigma \sqrt{X_t} Z \Delta, $$ donde $Z$ $N(0, 1)$ Gaussiano variable.
2. el esquema de Milstein $$ X_{t + \Delta} \approx X_t + \beta(X_t - \gamma)\Delta + \sigma \sqrt{X_t}Z\sqrt{\Delta} + \frac{1}{4}\sigma^2 \Delta (Z^2-1) $$ donde $Z$ $N(0, 1)$ Gaussiano variable.

Me preguntaba por qué estos dos esquemas tienen una probabilidad positiva de la generación de los valores negativos de $X_t$ y por lo tanto no puede ser utilizado sin modificaciones adecuadas?

Referencias (libros, tutoriales y/o papel) será útil también!

Gracias y saludos!

Answer 1

Tomar el esquema de Euler. Supongamos que usted comience con $X_0=\epsilon$. Vamos a tomar $\beta=-1$, $\gamma =1$ y $\sigma=1$ por el bien de la certeza. A continuación, en el siguiente paso tendrás

$$X_{\Delta} = \epsilon + (1-\epsilon) \Delta + \sqrt{\epsilon} Z \Delta$$

¿Cuál es la probabilidad de que esta es menor que cero?

$$\mathbb{P}\left[X_{\Delta}<0\right]= \mathbb{P}\left[\epsilon + (1-\epsilon) \Delta + \sqrt{\epsilon} Z \Delta < 0\right]$$

Reorganización de los beneficios que obtendrás:

$$\mathbb{P}\left[X_{\Delta}<0\right]= \mathbb{P}\left[ Z < -\frac{\sqrt{\epsilon}}{\Delta}(1+(1-\frac{1}{\epsilon})\Delta)\right]$$

El uso de Chebyshev para una estimación que esto es menor que

$$\mathbb{P}\left[X_{\Delta}<0\right] \leq \frac{\Delta^2}{2\epsilon}$$

Así que cuanto más se aproxime a cero, mayor es la probabilidad de cruzar esa línea. Pero el tomar pasos de tiempo suficientemente pequeño, disminuye las posibilidades de cruce de cuadráticamente. Que debería darle una idea de cómo enseñar el otro esquema.