Fibra de morfismo homeomorfo a$f^{-1}(y)$

Question

Quiero resolver el ejercicio 3.10 (a) de Hartshorne del libro, en el capítulo II, en la que pide a probar lo siguiente:

Deje $f\colon X\to Y$ ser una de morfismos de esquemas y deje $y\in Y$, $X_y=X\times_Y \operatorname{Spec}k(y)$ es homeomórficos a $f^{-1}(y)$ con la topología inducida por.

La idea es claro para mí y me lo demostró la declaración de cuñados. Ahora, la elección de algunas abrir afín $V=\operatorname{Spec}A$ $Y$ contiene $y$, se deduce que el $X_y\cong f^{-1}(V) \times_V \operatorname{Spec}k(y)$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que la proyección de la última a $f^{-1}(V)$ induce un homeomorphism con $f^{-1}(y)$.

Cubierta $f^{-1}(V)$ por la apertura de los cuñados $U_i=\operatorname{Spec}B_i$. Por la construcción de la fibra del producto y, en particular, de la proyección por encolado, la proyección de $p\colon f^{-1}(V) \times_V \operatorname{Spec}k(y) \to f^{-1}(V)$ es obtenido por pegado de las proyecciones de $p_i\colon \operatorname{Spec}(B_i \otimes_A k(y)) \to \operatorname{Spec}B_i \hookrightarrow f^{-1}(V)$.

$\textbf{The problem is:}$ No veo por qué no $p$ debe permanecer inyectiva. Deje $z,z'$ estar a dos puntos de $f^{-1}(V) \times_V \operatorname{Spec}k(y)$, $z \in \operatorname{Spec}B_i \otimes_A k(y)$ $z'\in \operatorname{Spec}B_j \otimes_A k(y)$ algunos $i,j$. Ahora, $p(z)=p(z')$ implica que el $z \in p^{-1}(f^{-1}(y)\cap \operatorname{Spec}B_i \cap \operatorname{Spec}B_j)=p^{-1}(\operatorname{Spec}B_i \cap \operatorname{Spec}B_j)$. Por lo tanto, I $\textbf{need to prove}$ que $p^{-1}(\operatorname{Spec}B_i \cap \operatorname{Spec}B_j)= \operatorname{Spec}(B_i \otimes_A k(y)) \cap \operatorname{Spec}(B_j \otimes_A k(y))$, donde no veo que "$\subseteq$" tiene.

Agradezco cualquier tipo de ayuda.

Answer 1

La igualdad requerida$p^{-1}(\operatorname{Spec}B_i \cap \operatorname{Spec}B_j)=\operatorname{Spec}(B_i \otimes_A k(y)) \cap \operatorname{Spec}(B_j \otimes_A k(y))$ se deduce de lo siguiente:

Dado un producto de fibra$(X\times_S Y,p_X, p_Y)$ de dos esquemas$X$ y$Y$ sobre$S$. Luego para cualquier$U$$X,$$U\times_S Y$$U$$Y$$S$%% is% isomorphic isomomphic to$p_X^{-1}(U)$.

Aplicando esto a la situación anterior da el resultado deseado.

Answer 2

La numeración se refiere a Bosch - Geometría Algebraica y Álgebra Conmutativa.

La proposición 6.2.6. Deje $\varphi:A\to A^{\prime}$ ser un anillo homomorphism tal que cualquier elemento de a $f^{\prime}\in A^{\prime}$ es de tipo $\varphi(f)u$ donde $f\in A$ $u$ es una unidad de $A^{\prime}$. El mapa de $\varphi^{*}:SpecA^{\prime}\to SpecA$ es inyectiva y define un homeomorphism entre el$Spec A^{\prime}$$Im\varphi^{*}$, donde el espacio topológico está equipado con la topología de Zariski.

Prueba. Deje $x,y\in Spec A\mid\varphi^{*}(x)=\varphi^{*}(y)$$\varphi^{-1}(\mathfrak{p}_x)=\varphi^{-1}(\mathfrak{p}_y)$; por hipothesis para cualquier $f^{\prime}\in\mathfrak{p}_x$ existe $f\in A,u\in A^{\prime\times}$ tal que $f^{\prime}=\varphi(f)u$, en particular, $\varphi(f)=f^{\prime}u^{-1}\in\mathfrak{p}_x\iff f\in\varphi^{-1}(\mathfrak{p}_x)=\varphi^{-1}(\mathfrak{p}_y)\iff\mathfrak{p}_y\ni\varphi(f)=f^{\prime}u^{-1}$ $f^{\prime}\in\mathfrak{p}_y$ y, por tanto,$\mathfrak{p}_x\subseteq\mathfrak{p}_y$; y viceversa.

En otras palabras, $\varphi^{*}$ es un bijective continua mapa entre el$SpecA^{\prime}$$im\varphi^{*}$.

Deje $Y^{\prime}$ ser un subconjunto cerrado de $SpecA^{\prime}$, por definición, existe un subconjunto $E^{\prime}$ $A^{\prime}$ tal que $Y=V\left(E^{\prime}\right)$, por hipótesis, hasta unidades de $A^{\prime}$, podemos suponer que $E^{\prime}\subseteq\varphi(A)$; entonces existe $E\subseteq A$ tal que $\varphi(E)=E^{\prime}$, y a partir de todo esto: \begin{equation} Y^{\prime}=V\left(E^{\prime}\right)=V(\varphi(E))=\left(\varphi^{*}\right)^{-1}(V(E))=\left(\varphi^{*}\right)^{-1}(Y)\Rightarrow\varphi^{*}\left(Y^{\prime}\right)=V(E)=Y \end{equation} que es $\varphi^{*}$ es un cerrado mapa y por lo tanto es un homeomorphism. $\Box$

Teniendo en cuenta la proyección canónica $p:X\times_YSpec\kappa(y)\to X$, sabemos que $p$ induce un surjection (ver Pilas de Proyecto) $p^{\prime}:X\times_YSpec\kappa(y)\to f^{-1}(y)$; deje $V=SpecB$ ser afín a abrir barrio de $y$, sabemos que $X\times_YSpec\kappa(y)$ es canónica isomorfo a $X\times_VSpec\kappa(y)$. Deje $U=SpecA$ ser afín subconjunto de $f^{-1}(V)$, de la misma manera se puede considerar que la surjection $q^{\prime}=p^{\prime}_U:U\times_VSpec\kappa(y)\to f^{-1}_{|U}(y)$; por la construcción de $q$ se obtiene tensoring $B\to\kappa(y)$$A$$B$. Porque el elemento de $A\otimes_B\kappa(y)$ son del tipo $i_1(a)u$ donde $i_1$ es la canónica de morfismos de $A$ $A\otimes_B\kappa(y)$ $u$ es una unidad de $A\otimes_B\kappa(y)$, por la proposición 6.2.6 podemos afirmar que $q^{\prime}$ es un homeomorphism.

El encolado de la $U\times_VSpec\kappa(y)$s, $f^{-1}_{|U}(y)$'s y el $p^{\prime}_{|U}$'s, podemos demostrar que $p^{\prime}$ es un homeomorphism.

Está todo claro?