Desde $a_k \le k-1$ para $k \ge 2$ tenemos
$$ \lfloor x \rfloor = \left\lfloor \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k!} \right\rfloor \le a_1 + \left\lfloor \sum_{k=2}^n \frac{k-1}{k!} \right\rfloor = a_1 $$
ya que este último término es $0$ desde $ \sum_{k=2}^n \frac{k-1}{k!} = \sum_{k=2}^n \lbrace \frac{1}{(k-1)!} - \frac{1}{k!} \rbrace = 1 – 1/n! < 1.$
Para mostrar $ a_m = \lfloor m! x \rfloor – m \lfloor (m-1)! x \rfloor $ para $m=2,3,\ldots,n$ observamos que
$$ \lfloor m! x \rfloor = \left\lfloor m! \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k!} \right\rfloor = A_m + \left\lfloor m! \sum_{k=m+1}^n \frac{a_k}{k!} \right\rfloor, $$
donde $A_m$ es un número entero dado por
$$A_m = m! \frac{a_1}{1!} + m! \frac{a_2}{2!} + \cdots + m! \frac{a_m}{m!}.$$
Sin embargo,
$$ m! \sum_{k=m+1}^n \frac{a_k}{k!} \le m! \sum_{k=m+1}^n \frac{k-1}{k!} = m! \sum_{k=m+1}^n \left\lbrace \frac{1}{(k-1)!} - \frac{1}{k!} \right\rbrace $$ $$ = m! \left( \frac{1}{m!} - \frac{1}{n!} \right) = 1 - \frac{m!}{n!} < 1 $$
y por lo tanto
$$ \left\lfloor m! \sum_{k=m+1}^n \frac{a_k}{k!} \right\rfloor = 0.$$
También para $ m > 1 $
$$ m \lfloor (m-1)! x \rfloor = m \left\lfloor (m-1)! \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k!} \right\rfloor $$ $$=m \left\lbrace (m-1)! \frac{a_1}{1!} + (m-1)! \frac{a_2}{2!} + \cdots + (m-1)! \frac{a_{m -1}}{(m-1)!} \right\rbrace + m \left\lfloor \sum_{k=m}^n \frac{a_k}{k!} \right\rfloor $$ $$= \left( A_m - a_m \right) + m \left\lfloor \sum_{k=m}^n \frac{a_k}{k!} \right\rfloor = A_m – a_m . $$
desde
$$ \sum_{k=m}^n \frac{a_k}{k!} \le \sum_{k=m}^n \frac{k-1}{k!} = \frac{1}{(m-1)!} - \frac{1}{n!} < 1 .$$
Lo que demuestra que para $ m > 1 $
$$ \lfloor m! x \rfloor - m \lfloor (m-1)! x \rfloor = A_m – (A_m – a_m) = a_m . \qquad (1)$$
Para demostrar que $n$ es el menor número entero tal que $n! x $ es un número entero, supongamos que $ (n-1)! x $ es un número entero. Entonces por $(1)$ que tenemos para $n > 1$
$$ a_{n-1} = (n-1)! x – n! x < 0 $$ contradiciendo el hecho de que $a_k \ge 0 .$ Y así $ (n-1)! x $ no puede ser un número entero, y si $ m! x $ es un número entero para cualquier $ m < n $ tenemos $(n-1)(n-2) \cdots m! x = (n-1)! x $ es un número entero, otra contradicción. Por lo tanto, $ m! x $ no puede ser un número entero.
Para demostrar que todo número racional positivo $x$ puede expresarse de esta forma, sea $ x = p/q, $ donde $ gcd(p,q)=1 \textrm{ and } p,q \in \mathbb{N} $ y que $ n $ sea el menor número entero tal que $ n! p/q $ es un número entero. Definir
$$ \begin{align*} a_1 &= \left\lfloor \frac{p}{q} \right\rfloor \\ a_m &= \left\lfloor m! \frac{p}{q} \right\rfloor - m \left\lfloor (m-1)! \frac{p}{q} \right\rfloor \quad \textrm{ for } m > 1. \quad (2) \end{align*} $$
Observamos que
$$ \left\lfloor (n-1)! \frac{p}{q} \right\rfloor < (n-1)! \frac{p}{q} , $$
desde $ (n-1)! p/q $ no es un número entero, por lo que $a_n > 0 .$
Además, como $ (m-1)! p/q $ no es un número entero, pues $ m \le n $ podemos escribir
$$ (m-1)! \frac{p}{q} = N_m + r_m \quad \textrm{ where } 0 < r_m < 1 $$
y $N_m$ es un número entero. Por lo tanto, para $m=2,3,\ldots,n$ de $(2)$ tenemos
$$ a_m = \lfloor mN_m + mr_m \rfloor - mN_m = \lfloor m r_m \rfloor \le m-1.$$
Tenga en cuenta también que el $a_m$ son no negativos. Supongamos ahora que
$$ \frac{p}{q} = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k!} \quad (3)$$
entonces como el $a_k$ satisfacen las condiciones de que cada uno es un entero no negativo con $a_k \le k-1 $ para $k=2,3\ldots,n$ están determinados únicamente por $(1)$ y $a_1 = \lfloor p/q \rfloor .$
Sólo queda por demostrar $(3).$ Para demostrarlo, observamos que
$$ \begin{align*} \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k!} &= \left\lfloor \frac{p}{q} \right\rfloor + \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{k!} \\ &= \left\lfloor \frac{p}{q} \right\rfloor + \sum_{k=2}^n \left\lbrace \frac{ \left\lfloor k! \frac{p}{q} \right\rfloor - k \left\lfloor (k-1)! \frac{p}{q} \right\rfloor }{k!} \right\rbrace \\ &= \left\lfloor \frac{p}{q} \right\rfloor + \sum_{k=2}^n \frac{ \left\lfloor k! \frac{p}{q} \right\rfloor }{k!} - \sum_{k=2}^n \frac{ \left\lfloor (k-1)! \frac{p}{q} \right\rfloor }{(k-1)!} \\ &= \frac {n! p/q}{n!} = \frac{p}{q}, \end{align*} $$
desde $n! p/q$ es un número entero y todos los términos se cancelan, excepto el último. Esto completa la prueba.
