El método WKB: la motivación.

Question

Dada una ecuación diferencial de la forma.

$\epsilon \frac{d^ny}{dx^n} + \sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)\frac{d^ky}{dx^k}=0$

Entonces el método WKB dice que se elija el ansatz$y\sim exp({\frac{i\phi(x)}{\epsilon}})A(x,\epsilon)$

dónde $A(x,\epsilon) = \sum_{k=0}^{\infty} A_k(x)\epsilon^n$

Me pregunté cuál es la motivación para esta conjetura educada.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Mira la introducción al Capítulo 10 en Bender & Orszag . ("Haga clic para ver el interior", busque "WKB" y vaya a la p.484 en los resultados de búsqueda).

Answer 2

Usted puede tener una vaga comprensión intuitiva mirando el segundo fin de ODE $\epsilon y'' + q(x)y=0$ donde $0 < \epsilon \ll 1$ $q(x)$ no cambia de signo en el intervalo de interés.

Si $q$ fue sólo un número real, la solución sería la combinación lineal de dos funciones exponenciales tener argumentos con diferentes signos. La segunda observación que usted podría hacer es que la multiplicación de los más altos fin de plazo por un pequeño parámetro generalmente implica utilizar una singular serie de perturbación. Si usted mira el argumento de la función exponencial se utiliza, verá que es una singular serie de perturbación. Entonces, en un sentido, el formulario para la WKB solución es la unión de dos cosas que usted espera de la solución: ponemos la singular serie de perturbaciones en el argumento de las funciones exponenciales.

Poner de esta forma para la solución en el original de la educación a distancia, dejando que el pequeño parámetro en la singular serie de perturbación ser una variable, la solución para que el uso dominante de equilibrio y, a continuación, obtener una serie de Odas (para los diferentes órdenes de $\epsilon$) se puede obtener una solución.