¿Cómo interpretar la acción de un grupo lineal proyectivo sobre un espacio proyectivo?

Question

Se refieren a: Para completar la prueba de que $\operatorname{PSL}(2,\Bbb F_5)\cong A_5$. Yo estoy empezando a entender el grupo de acción de un proyectiva lineal grupo de grado $2$$\Bbb P^1(\Bbb F_q)$. Pero eso es porque ya he aprendido acerca de las transformaciones de Möbius, es decir, las acciones de $\operatorname{PSL}(2,\Bbb C)$$\Bbb{\widehat C}$, cuando estaba estudiando la geometría no Euclidiana antes. Así que sólo hay que cambiar el campo en cuestión de $\Bbb C$ a un número finito. Quiero saber más acerca de la estructura de la proyectiva lineal de los grupos de mayor grado, por ejemplo,$\operatorname{PGL}(3,\Bbb F_q)$$\operatorname{PSL}(3,\Bbb F_q)$.

Yo no tengo ningún conocimiento previo en la geometría proyectiva (al menos eso creo yo). Alguien puede dar una explicación rápida para mí lo es $\Bbb P^k(\Bbb F_q)$, o ¿a qué se parece? https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_space da una definición como la $\Bbb P^k(\Bbb F_q):=(\Bbb F_q^{k+1}-\{(0,0,\dots,0)\})/\sim$ que dicen que identifica los puntos que se encuentran sobre la misma recta que pasa por el origen como en la misma clase de equivalencia. Que está bien. Pero no puedo visualizarlo, especialmente en el contexto de campos finitos. También https://en.wikipedia.org/wiki/PSL(2,7) dice que $$\text{For}\space\gamma=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\in\operatorname{PSL}(3,\Bbb F_2)\space\text{and}\space\mathbf x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\Bbb P^2(\Bbb F_2),\space\gamma.\mathbf x=\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}$$ ¿Por qué $\gamma$ actúa en $\mathbf x$ como esta?? Sólo puedo ver por qué los elementos de $\Bbb P^2(\Bbb F_2)$ son representadas como tres dim. los vectores. Y ahora tengo otro grave problema: no puedo recuperar la forma en que yo interpreto de la acción de la $\operatorname{PSL}(2,*)$ $*\cup\{\infty\}$ de lo que he aprendido hoy! Sé que (de lo que he aprendido en Möbius geometría) por $\gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{PSL}(2,\Bbb F_q)$ y $x\in\Bbb F_q\cup\{\infty\}$, $\gamma.x=\frac{ax+b}{cx+d}$. Ahora me di cuenta de que $\Bbb P^1(\Bbb F_q)$ se $\Bbb F_q\cup\{\infty\}$. ¿Por qué el $x$ no ser representado como un dos-dim. vector, pero sólo un escalar aquí? y el $\frac{ax+b}{cx+d}$: ni a qué se parece un dos-dim vector. Estoy seguro de que lo que he aprendido acerca de las transformaciones de Möbius no pueden estar equivocados, ni la descripción de lineal fraccional transformaciones como un elemento de $\operatorname{PSL}(2,*)$ actuando en $x$$x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}$. Cómo conciliar mi interpretación con la nueva deriva de la definición de una línea proyectiva?

Creo que estoy escribiendo demasiado. Debo parar aquí.

Answer 1

He aquí una respuesta a su última pregunta. En coordenadas homogéneas, $\newcommand{\P}{\mathbb P} \newcommand{\F}{\mathbb F} \P^1(\F_q)$ puede ser escrito como el conjunto de todos los pares de $[X_0:X_1]$ $X_0, X_1 \in \F_q$ no tanto $0$. El punto de $[X_0:X_1]$ corresponde a la línea a través del origen $X_0 x + X_1 y = 0$$\mathbb{A}^2(\F_q)$. Dado que las ecuaciones $X_0 x + X_1y = 0$ $\lambda X_0 x + \lambda X_1 y = 0$ definir la misma línea para cualquier $\lambda \neq 0$, en términos de nuestras coordenadas tenemos $[X_0:X_1] = [\lambda X_0 : \lambda X_1]$ todos los $\lambda \in \F_q^\times$. (Es en este sentido que las coordenadas son homogéneos.)

Tenga en cuenta que si $X_1 \neq 0$ podemos escribir $[X_0:X_1] = [X_0/X_1 : 1]$ y el conjunto de $$ \{[X_0:X_1] \en \P^1(\F_q) \mediados de X_1 \neq 0\} = \{[z:1] \mediados de z \in \F_q\} $$ puede ser identificado con $\F_q$. Por lo tanto tenemos la estratificación $$ \P^1(\F_q) = \{[z:1] \mediados de z \in \F_q\} \cup \{[1:0]\} = \F_q \cup \{\infty\} \, . $$

Una matriz de $\gamma = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{PSL}_2(\F_q)$ luego de los actos por la multiplicación como usted dijo: $$ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_0\\ X_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aX_0 + bX_1\\ cX_0 + dX_1\end{pmatrix} $$ o para enfatizar el hecho de que todavía estamos utilizando coordenadas homogéneas: $$ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} [X_0 : X_1] = [aX_0 + bX_1 : cX_0 + dX_1] \, . $$ Pero cuando $X_1 \neq 0$ tenemos $[X_0:X_1] = [z:1]$ donde $z = X_0/X_1$, por lo que esta expresión se puede reescribir \begin{align*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} [X_0:X_1] = [aX_0 + bX_1 : cX_0 + dX_1] = [a(X_0/X_1) + b : c(X_0/X_1) + d] = [az + b : cz + d] \, . \end{align*} Si además tenemos $cz + d \neq 0$, entonces podemos dividir a través de $$ [az + b : cz + d] = \left[\frac{az + b}{cz + d} : 1 \right] $$ que, en virtud de la identificación antes mencionada, puede identificado con $\frac{az+b}{cz+d}$, la recuperación de su definición original.

Quisiera agregar algo más tarde acerca de cómo localmente $\P^k$ se parece a $\mathbb{A}^k = \mathbb{F}_q^k$, cuyos elementos son sólo $k$-tuplas, pero espero que esto al menos responde a su última pregunta.