Deje $(X_n)_{n\in\mathbb N_0}$ ser un submartingale o un supermartingale. Muestran que, para todos los $n\in\mathbb N$$\lambda>0$,
$$\lambda P[|X|^*_n\ge \lambda ]\le 12 E[|X_0|]+9E[|X_n|].$$
Este problema viene de Klenke la probabilidad de libros de texto (11.1.1), y sigue la sección de Doob desigualdades y Doob de la descomposición. Definimos
$$X^*_n = \sup\{X_k : k\le n\}.$$
Mis pensamientos: Por simplicidad, consideremos el caso en que $X_n$ es un submartingale. Entonces podemos escribir $X_n=M_n+A_n$ donde $M_n$ es una martingala y $A_n$ es un creciente proceso predecible (de manera positiva submartingale). Entonces
$$P[|X|^*_n\ge \lambda ] \le P[|A|^*_n+|M|_n^*\ge \lambda ] \le P[|M|_n^*\ge a\lambda ]+ P[|A|^*_n\ge (1-a)\lambda ],$$
donde $a$ será elegido más tarde. La combinación de esta con la desigualdad
$$\lambda P[|Y|^*_n\ge \lambda ]\le E[|Y_n|]$$
(que se aplica con $Y_n$ es una martingala o positivo submartingale) da un salto en términos de$A_n$$M_n$, que no es exactamente lo que queremos. Necesitamos un obligado en términos de$|X_0|$$|X_n|$. Soy incapaz de proceder y agradecería cualquier ayuda.
Respuesta
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Tenga en cuenta que basta para considerar el caso cuando $X$ es un submartingale desde si $X$ es un supermartingale $-X$ es un submartingale.
Para terminar la prueba, utilice los siguientes límites: $$E[|A_n|] = E[A_n] = E[X_n - M_n] = E[X_n] - E[M_n] = E[X_n] - E[M_0] = E[X_n] - E[X_0] \leq E[|X_n|] + E[|X_0|]$ $ y $$E[|M_n|] = E[|X_n-A_n|] \leq E[|X_n|] + E[|A_n|] \leq 2 E[|X_n|] + E[|X_0|].$ $
