Definiciones en un teorema de Lang

Question

Estoy tratando de entender el siguiente teorema debido a Serge Lang (Grupos algebraicos sobre campos finitos, 1956, Teorema 2):

Dejemos que $p$ sea un primo, y que $k$ sea un campo finito de $q=p^n$ elementos. Sea $G$ sea un grupo algebraico definido sobre $k$ y supongamos que $H/k$ es un espacio homogéneo sobre $G$ . Entonces $H$ tiene un punto racional.

He buscado en el documento para intentar ver qué quiere decir exactamente Lang con todos estos términos, pero no consigo encontrar ninguna respuesta. Sólo tengo algunas preguntas sencillas sobre algunas definiciones.

• Por grupo algebraico definido sobre $k$ Lang se refiere a un grupo que también es una variedad sobre $k$ donde la multiplicación y la inversa son morfismos de variedades? Si es así, entonces $G$ debe ser finito porque $k$ es finito. Tal vez se refiera a una variedad sobre $\bar{k}$ ?
• Por un espacio homogéneo $H/k$ en $G$ ¿Gang se refiere a una variedad $H$ en $k$ (o $\bar{k}$ ?) en el que $G$ actúa de forma transitoria y continua?
• Por punto racional, ¿se refiere Lang a algún $h\in H$ tal que las coordenadas de $h$ en alguna incrustación de $H$ en un espacio afín sobre $\bar{k}$ todos mienten en $k$ ? Supongo que aquí estoy asumiendo $H$ es una variedad afín sobre $\bar{k}$ .

Tal vez algunas de estas preguntas no tengan sentido, pero cuanto más trato de darles sentido, más me doy cuenta de que simplemente estoy confundido y necesito aclararme.

Answer 1

Parece que usted está confundido sobre la definición de una variedad sobre $k$ cuando $k$ no es algebraicamente cerrado. En particular, tal objeto no se describe fielmente por su $k$ -puntos; contiene más datos, por ejemplo, tiene una noción de $L$ -para cualquier extensión algebraica $L$ de $k$ . Una forma de describir estos datos adicionales es que una variedad sobre $k$ se describe fielmente por su $k_s$ -puntos (donde $k_s$ es el cierre separable) junto con la acción del grupo de Galois absoluto $\text{Gal}(k_s/k)$ sobre ellos (en el sentido de que esto define un functor de $k$ -variedades a $\text{Gal}(k_s/k)$ -sets que es fiel). "Punto racional" significa aquí $k$ -o, lo que es lo mismo, un punto fijo para la acción de Galois.

Qué nivel de formalidad quiere utilizar para describir $k$ -variedades depende de la geometría algebraica con la que te sientas cómodo. Affine $k$ -son relativamente fáciles de describir, en cualquier caso: se trata de la categoría opuesta a la categoría de las integrales finitamente generadas (o reducidas, según sus preferencias) conmutativas $k$ -algebras.

Answer 2

He leído un poco de "Grupos algebraicos lineales" de Humphreys, y creo que Lang se refiere a las definiciones que se encuentran en la sección 34 titulada "Campos de definición". Esto es lo que he encontrado. Trabajaremos puramente en el caso afín.

Dejemos que $k\hookrightarrow K$ sea un mapa de campos, y supongamos que $X\subset\mathbb{A}^n_K$ es un conjunto cerrado. $X$ se dice que definido sobre k si $\mathscr{I}(X)$ es generada por elementos en $k[x_1,\ldots,x_n]$ . Si $X\subset\mathbb{A}^n_K$ y $Y\subset\mathbb{A}^m_K$ son dos conjuntos cerrados definidos sobre $k$ , entonces un mapa $\varphi:X\rightarrow Y$ es un $k$ -morfismo si las funciones de coordenadas se encuentran todas en $k[x_1,\ldots,x_n]$ . Entonces, decimos que un grupo algebraico $G$ es definido sobre $k$ si se define sobre $k$ como un conjunto cerrado, y si la multiplicación y la inversión son $k$ -morfismos.

Decimos que un grupo algebraico $G$ definido sobre $k$ actúa $k$ -mórficamente en un conjunto cerrado $X$ (también definido sobre $k$ ) si la acción $\varphi:G\times X\rightarrow X$ es un $k$ -morfismo

Un espacio homogéneo $H/k$ es un conjunto cerrado $H\subset\mathbb{A}^n_K$ definido sobre $k$ junto con un transitivo $k$ -acción mórfica de $G$ en $H$ .

Por último, si $X\subset\mathbb{A}^n_K$ es un conjunto cerrado definido sobre $k$ entonces el $k$ -puntos racionales de $X$ es el conjunto $X(k)=X\cap \mathbb{A}^n_k\subset\mathbb{A}^n_K$ .

Considerando anillos de funciones regulares, todo esto puede definirse intrínsecamente, sin referencia a una incrustación específica, y puede extenderse también a variedades arbitrarias mediante coberturas abiertas afines.

Con todo esto en mente, creo que Lang está considerando realmente $G$ y $H$ como variedades sobre algún campo mayor $K$ de la característica $p$ que contiene $k$ (por ejemplo, $K=\bar{k}$ ), y exigiendo que se definan sobre $k$ como se ha descrito anteriormente.