Anillo de $R$ con el campo de la fracción % de Frac de la $=$% #%

Question

Que $R$ sea un dominio integral con fracción campo $K$. Por supuesto todos los overrings de $R$ comparten la misma fracción campo $K$ (por un embargo me refiero a un subanillo $S\subset K$con $R$ como un anillo). ¿Tienes una referencia para un criterio de decir cuando un subanillo de $R$ fracción campo $K$?

Answer 1

Permítanme que reformular un poco la excelente solución de Simon Markett.

En su notación, la condición es $x S \cap S \ne { 0 }$ % todos $0 \ne x \in R$. Esto me parece equivalente a decir que $R/S$ es un # de $S$-módulo de torsión.

Answer 2

No es una referencia, pero una respuesta:

Deje $S\subset R$ ser un sub-anillo con $\text{Frac }S=\text{Frac }R=K$. En otras palabras, el mapa de $\text{Frac }S\to\text{Frac }R=K$ tiene que ser un isomorfismo. Es claramente inyectiva por lo que sigue siendo para mostrar surjectivity.

Para cualquier $x,y\in R$ ($y\neq 0$) necesitamos encontrar $s,t\in S$ ($t\neq 0$) tal que $\frac{x}{y}=\frac{s}{t}\in K$ ($\ast$).

Condición necesaria y suficiente: Para todos los $x\in R$ existe un $0\neq t\in S$ tal que $tx\in S$.

Efectivamente, es necesario ya que tenemos la ecuación de $(\ast)$ a $y=1$, es decir, necesitamos $s,t\in S$ ($t\neq0$) tal que $tx=s$. (Tenga en cuenta que $R$ es un dominio).

Ahora también es suficiente: Vamos a $x,y\in R$ ($y\neq 0$) y $0\neq s,t\in S$ tal que $tx,sy\in S$. Entonces

$$\frac xy=\frac{stx}{sty}\in \text{Frac }S$$