Representación de las clases (co) homología de $3$-variedades por las superficies incrustadas

Question

Deje $M$ ser un cerrado orientado $3$-colector. Teoremas en topología algebraica nos permiten identificar $$H_2(M) \ \cong \ H^1(M) \ \cong \ \langle M,S^1\rangle$$ donde la (co)homología se entiende con el entero coeficiente y el último objeto es el conjunto de (homotopy clases de mapas de $M\to S^1$. Así, dada una clase de homología $a \in H_2(M)$, se obtiene un mapa de $f_a : M \to S^1$ (hasta homotopy) y para cualquier otro valor de $t \in S^1$ de este mapa tenemos que $f_a^{-1}(t)$ es un integrado orientado a la superficie en $M$. Estoy bien con esto.

Es creíble que si cambiamos el punto de $t \in S^1$ a continuación se obtienen las diferentes superficies, pero estoy teniendo dificultades para la comprensión de cómo estos diferentes superficies, sobre todo en términos de su género o de la característica de Euler. Creo que algo sucede cuando vamos a través de un valor crítico de $f_a$ $S^1$ y que algunas de las $S^1$valores de Morse teoría que está pasando aquí. Me gustaría saber si esto es correcto y para ver un ejemplo claro de este fenómeno (es decir, topológicamente las diferentes superficies que representan la misma clase de homología en $H_2(M)$ ). Me disculpo si este es demasiado básico, pero yo no estoy acostumbrado a pensar acerca de la (co)homología en términos geométricos más allá de la dimensión $1$.

Answer 1

Creo que puedo probar:

Para cualquier par de cerrado superficies orientables $N_1$$N_2$, no es una función suave $f:S^3\rightarrow S^1$ $f^{-1}(-1) \cong N_1$ $f^{-1}(1) \cong N_2$

Aquí, estoy pensando en $S^1\subseteq\mathbb{C}$ como la unidad de los números complejos.

La prueba se producirá a través de un par de lemas.

Lema 1: Para cualquiera de los dos cerrada superficies orientables $N_1$$N_2$, no es un 3-dimensional de colector-con-límite de $M$ embebido en $S^3$ con límite de diffeomorphic a la inconexión de la unión de $N_1$$N_2$.

Prueba: Incrustar $N_1$ a un pequeño subconjunto abierto de $\mathbb{R}^3$, lo suficientemente pequeño para que este abra el subconjunto encaja totalmente en el interior de un identificador de $N_2$. Tomar como $M$ todos los puntos entre el$N_1$$N_2$. Desde $M$ está incrustado en $\mathbb{R}^3$ $\mathbb{R}^3$ puede ser fácilmente incorporado en $S^3$, $M$ puede ser incrustado en $S^3$. $\square$

Lema 2: Con $M$ ( $\mathbb{R}^3$ ) como en el anterior, hay una función suave $g:\mathbb{R}^3\rightarrow S^1$ que $-1$ $1$ son regulares valores, $g^{-1}(1) = N_2$, $g^{-1}(-1)= N_1$. Más $g$ es menor que $-1$ sólo fuera de $N_1$, idéntica $2$ lo suficientemente lejos como fuera de $N_1$, y más grande que $1$ sólo dentro de $N_2$.

Prueba: (Croquis) de un $M$ (todavía incrustado en $\mathbb{R}^3$), considere la función $\tilde{g}:M\rightarrow \mathbb{R}$ con $$\tilde{g}(p) = \frac{d(p,N_1)-d(p,N_2)}{d(p,N_1) + d(p,N_2)}$$ where $d$ is the Euclidean distance (where distance measured from inside is negative). Since the boundary of $M$ is a disjoint union, the denominator never vanishes, so $\tilde{g}$ defines a continuous (but not necessarily smooth) function. Direct computation shows that $\tilde{g}^{-1}(1) = N_2$ and $\tilde{g}^{-1}(-1) = N_1$.

Invocar algunas geometría de Riemann (utilizando el mapa exponencial y la compacidad de la $N_i$), no es demasiado difícil ver que $\tilde{g}$ es realmente suave, cerca tanto de $N_1$$N_2$, y, luego, por la espesura de las funciones lisas, podemos aproximar $\tilde{g}$ por una función suave $g$ que está de acuerdo con $\tilde{g}$ cerca de $N_1$$N_2$. Además, mediante la fijación de los cilindros de $N_i\times [0,1]$ a cada uno de los respectivos límites, podemos suponer que wlog que $1$ $-1$ son regulares los valores de $g$$g^{-1}(1) = N_2$$g^{-1}(-1) = N_1$.

Por último, dentro de $N_2$, podemos extender $g$ a ser suave, y tomar en valores en $(1,2]$, e igualmente fuera de $N_1$, podemos extender $g$ a ser suave, y tomar en valores en $[-2,-1)$ $g(p) = -2$ todos los $p$ lo suficientemente lejos de $N_1$. $\square$

A partir de aquí, el original de la proposición es fácil. A través de stereographics de proyección, incorporamos $\mathbb{R}^3$ a $S^3$ y de transferencia de $g$ a una función $f$ definido en $S^3$ con un punto de $q$ eliminado. Sin embargo, desde la $g$ es idéntica $-2$ lo suficientemente lejos como fuera de $N_1$, podemos extender $f$ a una función suave en $S^3$ definiendo $f(q) = -2$.