Uso del concepto de extensión de subgrupo vs campo

Question

¿Por qué es popular utilizar la idea de los subgrupos en caso de grupos y extensiones de campo en el caso de campos? En ambos caso un conjunto es subconjunto del otro junto con la restricción de algunas propiedades adicionales.

Edit: como por sugerencia de @Lubin, sería reformular la pregunta como - por qué hacemos hincapié en las subestructuras en el caso de grupos, mientras que para los campos, hacemos hincapié en las estructuras suprayacentes.

Answer 1

Mi respuesta debe ser parcial y peculiar. La gente puede, debe, y espero, objeto de mis opiniones. Y corregir mis errores de hechos demasiado!

Cuando nos fijamos en el grupo más pequeño posible, es decir, el trivial del grupo, pregunte para las extensiones es para preguntar acerca de todos los grupos! No es un interesante punto de vista, creo. Incluso cuando nos fijamos en un grupo como $C_2$, el grupo cíclico de orden $2$, este grupo está contenida en (más exactamente, tiene un inyectiva homomorphism a) cada grupo finito de orden. Incluso si usted demanda que $C_2$ debe ser un subgrupo normal de la extensión del grupo, siempre se puede mirar en $C_2\times G$ para cualquier grupo en todo, y muchos otros, que contienen el grupo de orden $2$.

Por otro lado, cuando nos fijamos en una más pequeña posible de campo, es sin duda una interesante pregunta ¿qué extensiones que tiene. Si "lo más pequeño posible" es $\mathbb F_p=\mathbb Z/(p)$, es interesante que sólo hay una extensión de cada finito grado, y todos estos son de lo normal en el $\mathbb F_p$ cíclico con grupo de Galois. Si el "más pequeño" es $\mathbb Q$, luego están las extensiones de todos los posibles finito de grados, algunos normales, algunos no, y sin embargo, aún no sabemos si entre la normal extensiones de todos los grupos finitos se producen como grupo de Galois. Hechos interesantes y preguntas de todos.

Para subestructuras, cuando nos fijamos en un grupo, podemos preguntar acerca de todo tipo de propiedades: abelian o no, soluble o no, nilpotent, etc. Y por supuesto, tenemos las técnicas, muy bien desarrollado. En un camino, mirando las subestructuras en lugar de las estructuras superpuestas, hemos restringido nuestro investigaciones más manejable preguntas.

Para subestructuras de campos, está el hecho de que algunos de los campos que son importantes fuera del estrecho tema de la teoría de campo tienen ningún adecuada subcampos, e incluso para los campos que no son el primer campos, tales como la $\mathbb C$, ciertamente hay subcampos, pero nosotros trabajamos con ellos en la mayoría de los casos, como extensiones de $\mathbb Q$ no subcampos de $\mathbb C$. Una notable excepción es el teorema de que la única campos de $K$ $[\mathbb C\colon K]<\infty$ tienen este grado igual a $2$.

La división no es absoluta. Hay maneras de estudiar las situaciones en las que, dado un grupo de $G$, podemos hacer declaraciones acerca de los grupos $X$ que $G$ como un subgrupo normal. Del mismo modo, hay declaraciones acerca de los subcampos de un campo determinado.