Una estimación para los números relativamente primos

Question

Fijar una colección finita de números primos distintos $(p_1, p_2, \dots, p_s)$ y denotar su producto por $N$ . Para un número natural $n$ dejar $\beta(n)$ sea el número de $k$ , $k\leq n$ para lo cual $k$ y $N$ son relativamente primos. Consideremos la cantidad $$ K(p_1, p_2, \dots, p_s)=\sum_{n\geq 1}\left(\frac{\beta(n)}{n}-\theta\right)^2, $$ donde $$ \theta=\frac{\beta(N)}{N}=\prod_{i=1,\dots, s}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\beta(n)}{n}. $$

Consideremos ahora el orden parcial natural (por inclusión) en el conjunto de todas las colecciones finitas de números primos. Nos da una red. Mi pregunta es: hace $K(p_1, p_2, \dots, p_s)$ tienden al infinito a lo largo de esta red?

Answer 1

Bueno, esto es un "problema posiblemente abierto". Lo que preguntas básicamente da una reformulación de la Hipótesis de Riemann. Tenga en cuenta que, $\frac{\beta (n)}{n} = \sum_{d|N}\mu(d)[\frac{n}{d}]$ . Si está familiarizado con Tamiz de Legendre puede observar que $K(p_1, p_2, \dots, p_s)=\sum_{n\geq 1}\left(\frac{\beta(n)}{n}-\theta\right)^2 = \sum_{n\geq 1}\frac{\left(\sum_{d|N}\mu(d)\left\{\frac{n}{d}\right\}\right)^2}{n^2}$ . Si se utiliza el método formal de la criba se puede obtener un "buen límite" de la función $K(p_1,...,p_s)$ . Ver las notas . Me gustaría sugerir un procedimiento diferente. Introducir una ponderación $l^2$ espacio donde $||x||=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x(n)^2}{n^2}$ siempre que sea convergente. Consideremos el espacio de Hilbert generado por $\left\{\gamma_n|\gamma_n(k)=\left\{\frac{k}{n}\right\},k=1,2,...\right\}$ (Véase el documento Reformulación de Bagchi que describe la metodología en detalle). Consideremos el vector $x_N=\sum_{d|N}\mu(d)\gamma_d$ y por lo tanto $K(p_1,...,p_s)$ no es más que $||x_N||^2$ . A partir de esto se puede tener una conjetura de que RH es verdadera si $K(p_1,...,p_s)\to 1$ como $N\to\infty$ . Espero que esto ayude.