El problema de Erdős-Szekeres sobre puntos en posición convexa

Question

El Erdős-Szekeres problema de puntos en posición convexa y su prueba usando el teorema de Ramsey son conocidos. El problema dice así:

Para cada número natural $k$ existe un número $n(k)$ de manera tal que cualquier $n(k)$-punto de ajuste $X \subset \mathbb{R}^2$ en posición general contiene un $k$-punto convexo independiente subconjunto.

Mi pregunta es, ¿cómo demostrar la $d$-dimensiones versión del problema?

Para cada número natural $k$ existe un número $n_d(k)$ de manera tal que cualquier $n_d(k)$-punto de ajuste $X \subset \mathbb{R}^d$ en posición general contiene un $k$-punto convexo independiente subconjunto.

La solución probablemente use el teorema de Ramsey, pero no sé cómo.

Answer 1

El artículo de la wikipedia sobre los finales Felices problema de los estados:

"Es sencillo mostrar que, en más dimensiones Euclidianas espacios suficientemente grandes conjuntos de puntos tendrá un subconjunto de k puntos que forma la vértices de un convexo polytope, para cualquier k mayor que la dimensión: esto se sigue inmediatamente de la existencia de convexo k-ágonos lo suficientemente amplia planas de punto conjuntos, mediante la proyección de los de mayores dimensiones de punto de ajuste en una arbitraria de dos dimensiones subespacio."