evaluar limite de una secuencia

Question

El problema es:

Probar la convergencia de la secuencia

$\sqrt7,\; \sqrt{7-\sqrt7}, \; \sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt7}},\; \sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt7}}}$, ....

Y evaluar su límite.

Si el convergen está demostrado, puedo evaluar el límite por la relación de recurrencia

$a_{n+2} = \sqrt{7-\sqrt{7+a_n}}$.

Una forma rápida de encontrar la solución a esta ecuación de cuarto grado es 2; y otras raíces (si encuentro todos ellos) pueden ser eliminados (ya que son demasiado grandes o negativo).

Pero este método presupone que puedo encontrar todas las raíces de una ecuación de cuarto grado.

¿Puedo tener otro método que no pasa esto?

Por ejemplo puedo encontrar otra recurrencia de la relación tal que no me tienen que resolver un cuártica (o cúbico) de la ecuación? o, al menos, un quintic ecuación que involvs sólo cuadrática términos (por lo tanto puede ser reducida a la ecuación cuadrática)?

Si estos intentos son en vano, yo feliz de tomar mi anterior mathod como una respuesta.

Answer 1

Tenemos $a_1=\sqrt 7$, $a_2=\sqrt{7-\sqrt 7}$, y, a continuación, la recursividad $a_{n+1}=f(a_n):=\sqrt{7-\sqrt{7+a_n}}$.

Por inducción, una muestra rápidamente $0<a_n\le \sqrt 7$. Para$0\le x<y\le\sqrt 7$, $$0<\sqrt{7+y}-\sqrt {7+x}=\frac{y-x}{\sqrt{7+x}+\sqrt{7+x}}<\frac{y-x}{2\sqrt 7} $$ y para $0\le x<y<6$, $$0<\sqrt{7-x}-\sqrt{7-y}=\frac{y-x}{\sqrt{7-x}+\sqrt{7-y}} <\frac{y-x}2.$$ Llegamos a la conclusión de que para $x,y\in[0,\sqrt 7]$, también se $f(x),f(y)\in[0,\sqrt 7]$$|f(x)-f(y)|\le \frac1{|x-y|}{4\sqrt 7}$, es decir, $f$ es una contracción del mapa. Por lo tanto, el par y el impar subsequence tanto convereg a un punto fijo de $f$$[0,\sqrt 7]$. Sigue siendo para mostrar que $f$ tiene exactamente un punto fijo $a$ en ese intervalo. De $f(a)=a$, obtenemos $$ (7-a^2)^2-7=a,$$ o $$\tag1a^4-14a^2-a+42=0.$$ La derivada de esta, $4a^3-28a-1=4a(a^2-7)-1$$\le -1$$a\in[0,\sqrt 7]$, de ahí en más una solución a $(1)$ puede existir allí. Con el racional de la raíz teorema de la mente o por pura suerte, nos encontramos con que $a=2$ es una y por lo tanto la solución.

Answer 2

Para probar que el límite existe, muestre que$$a_{4n}>a_{4n+1}>2>a_{4n+3}>a_{4n+2}$$Using induction. For example,$$a_{4n}>2\implies\underbrace{a_{4n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4n}}}<\sqrt{7-\sqrt{7+2}}=2}_{\huge a_{4n+2}<2}$ $ Igual con

$a_{4n+1}\implies a_{4n+3},\\a_{4n+2}\implies a_{4n+4},\\a_{4n+3}\implies a_{4n+5}.$

Del mismo modo, no olvide revisar$a_0$ y$a_1$. Y luego muestre que$$a_{4n}>a_{4n+1}>a_{4n+4}>a_{4n+5}\\a_{4n+7}>a_{4n+6}>a_{4n+3}>a_{4n+2}$$So that we can see that $ a_n$ is bounded between $ a_0$ and $ a_2$, and the subsequences $ a_ {4n}$ and $ a_ {4n +1}$ are monotone decreasing and $ a_ {4n +2}$ and $ a_ {4n +3}$ are monotone increasing. From there, it simply involves showing that they must converge to $ 2 $.