SDE integración: Proceso de inversión Normal-Media - pregunta

Question

Estoy tratando de averiguar cómo un determinado SDE puede ser integrado. El SDE es la media normal-el intento de revertir el modelo:

$dX_t = \theta(\mu - X_t)dt + \sigma dW_t$ (1)

Donde $W_t - N(0,t)$. Hasta el momento, he encontrado la solución:

$X_t = X_0e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}) + e^{-\theta t} \int^t_0 \sigma e^{\theta s} dW_s$ (2)

Esta es la norma y bastante fácil de encontrar. Sin embargo, estoy buscando para descomponer esta solución en la forma.

$X_T = X_0 + (\mu - X_0)(1 - e^{-\theta t})+\sigma \sqrt{\frac{1-e^{-2\theta t}}{2 \theta}}W_t$ (3)

He encontrado que la adición a la mano derecha de (2), $X_0 - X_0$, es un buen truco para conseguir los dos términos en el lado derecho de (3). También estoy convencido de que uno tiene que encontrar la varianza y la media de la integral término en (2) para obtener la solución de (3). Sin embargo, no estoy seguro de cómo ir sobre hacer esto.

Si alguien puede ayudar, le estaría muy agradecido. Gracias.

Answer 1

Hay una solución cerrada fórmula para SDEs de la forma $dX_t = (a_t+c_tX_t)dt+(b_t+d_tX_t)dW_t, \, X_0 = \bar{X}$. La solución es $X_t = \mu_t H_t$ con $\mu_t = \bar{X} + \int_0^t \frac{1}{H_s} (a_s-b_sd_s)ds + \int_0^t \frac{1}{H_s} b_s dW_s$

$H_t = \exp\left(\int_0^t (c_s -\frac{1}{2} d_s^2)ds + \int_0^t d_s dW_s \right)$.

Usted puede obtener esta solución por la primera solución de la correspondiente ecuación homogénea y, a continuación, aplicar Ito fórmula en la forma de un producto de la regla. Es un análogo al método de variación de los parámetros conocidos de la educación a distancia de la teoría.

Edit: lo Siento, tengo a tu pregunta equivocada, este paso ya has hecho. Para obtener la forma deseada de la solución que tiene para calcular el $\int_0^t e^{\theta t}dW_s$, y para esto se puede utilizar los siguientes, bien conocida la varianza de resultados de las integrales estocásticas: $\mathbb{E}\left[ \left( \int_a^b f(s,\cdot) dW_s \right)^2 \right] = \int_a^b \mathbb{E}[(f(s,\cdot)^2]ds$ que resulta de la Ito - isometría para $f\in L^2_{\omega}([a,b])$. Por que usted consigue $(\int_0^t e^{\theta s} dW_s)^2 = \int_0^t e^{2\theta s}$, por lo tanto $\int_0^t e^{\theta s} dW_s = \sqrt{\frac{1}{2\theta}(e^{2\theta t}-1)}$ y por la que estás hecho.