¿Hay al menos un fractal continuo de dimensión 0 a 1?

Question

(No hablo inglés. Por favor, disculpen mi mala gramática).

Se trata de fractales sobre la línea real, compuestos por puntos o segmentos dentro de la línea real.

Si el conjunto de enteros es un fractal con dimensión D=0, y la línea real es un fractal con dimensión D=1, ¿es posible variar continuamente la dimensión D del conjunto de enteros al conjunto de la línea real? (haciendo alguna figura continua en el plano)

¿Hay un dibujo de todos los fractales uno al lado del otro? (algo así como esta imagen )

No quiero decir que todos los fractales formen un fractal más grande, sino que para cada valor D hay un fractal sobre la línea real con esa dimensión, y todos los fractales "se tocan entre sí" continuamente.

En otras palabras, quiero transformar continuamente un fractal, del conjunto de enteros a la línea real, cambiando continuamente su dimensión D de 0 a 1.

Answer 1

Esto se puede hacer generalizando el conjunto de Cantor. En particular, fijemos algunos $\alpha$ sea la dimensión y dejemos que $\beta=2^{-1/\alpha}$ . Definir dos funciones $f_1(x)=\beta x$ y $f_2(x)=1-\beta+\beta x$ que son contracciones hacia $0$ y $1$ respectivamente. Se puede demostrar que existe un único conjunto compacto $S_{\alpha}$ tal que $S=f_1(S_{\alpha})\cup f_2(S_{\alpha})$ . Tenemos que $S_{1/ \log_2(3)}$ es el conjunto de Cantor y $S_1=[0,1]$ y en el límite como $\alpha$ va a $0$ obtenemos el conjunto $\{0,1\}$ . Además, está bastante claro que $S_{\alpha}$ tiene dimensión $\alpha$ ya que, al estar compuesto por dos copias del mismo escaladas por $\beta$ su dimensión satisface $\beta^{d}=1/2$ .

Se puede demostrar que $S_{\alpha}$ consiste exactamente en puntos $x$ de la forma, donde $s_i$ es una secuencia en $\{0,1\}$ : $$x=\sum_{i=0}^{\infty}s_i(1-\beta)\beta^i$$ que varía claramente de forma continua cuando $s_i$ es fijo. A continuación se muestra un gráfico de estos fractales, donde la sección transversal del gráfico en $x=d$ es un fractal de dimensión $d$ :