¿Por qué $c_{-k,-\sigma}$ crear una partícula con momento $k$ ?

Question

En el libro de Mudelung, Introducción a la teoría del estado sólido, me confunde la siguiente afirmación.

Para muchas aplicaciones es útil una simplificación adicional. El concepto de agujero nos presenta la confusa situación de que un agujero en el estado $\mathbf{k},\sigma$ tiene un impulso $-\mathbf{k}$ mientras que un electrón tiene un momento $\mathbf{k}$ . Esta asimetría puede evitarse definiendo nuevos cuasipartículas que tienen impulso $\mathbf{k}$ dentro y fuera de la esfera de Fermi. Cuando observamos que la creación de una partícula con $+\mathbf{k}$ se consigue mediante el operador $c_{\mathbf{k}\sigma}^+$ cuando está fuera de la esfera de Fermi y por $c_{-\mathbf{k},-\sigma}$ cuando está dentro de la esfera de Fermi, es sólo un pequeño paso para definir los siguientes operadores: $$ \begin{align} \alpha_{\mathbf{k}\sigma}^+=u_\mathbf{k}c_{\mathbf{k}\sigma}^++v_{-\mathbf{k}}c_{-\mathbf{k},-\sigma} \\ \alpha_{\mathbf{k}\sigma}=u_\mathbf{k}c_{\mathbf{k}\sigma}+v_{-\mathbf{k}}c_{-\mathbf{k},-\sigma}^+ \end{align} $$ con $$ \begin{align} u_\mathbf{k}=1,\; v_\mathbf{k}=0\quad\text{ for }\quad k>k_\text{F}, \\ u_\mathbf{k}=0,\; v_\mathbf{k}=1\quad\text{ for }\quad k<k_\text{F}. \end{align} $$

Mostró la motivación de introducir la tansformación de Bogoliubov. Pero no entiendo su afirmación. "La creación de una partícula con $+\mathbf k$ se consigue con el operador $c^{+}_{\mathbf k,\sigma}$ cuando está fuera de la zona de Fermi y por $c_{-\mathbf k,-\sigma}$ cuando está dentro de la esfera de Fermi".

$c^{+}_{\mathbf k,\sigma}$ significa crear una partícula con $\mathbf k$ . Entonces, ¿por qué debemos distinguir entre el exterior y el interior de la esfera de Fermi? Y por qué el operador de aniquilación $c_{-\mathbf k,-\sigma}$ dentro de la esfera de Fermi tienen el mismo efecto que el operador de creación fuera de la esfera de Fermi?

Answer 1

Los estados dentro de la esfera de Fermi están ocupados, por lo que $c^{+}_{k,\sigma}$ aplicado a cualquiera de esos estados da cero. No un estado con cero electrones, sino una función de estado idéntica a cero. No es útil en este contexto.

Por otro lado, si se aplica $c_{-k, -\sigma}$ a estados dentro de la esfera de Fermi (por lo tanto, ocupados), un electrón que tiene propiedades ( $-k, -\sigma$ ) es destruido dejando atrás una función de estado perfectamente buena... y para el estado general del sistema $k$ y $\sigma$ tienen aumento de . Podemos pensar en esto como la creación de una "partícula" con propiedades ( $k, \sigma$ ), es decir, crear un agujero.

Answer 2

La esfera de Fermi

Imagina una Esfera de Fermi llena, cada estado con $k<k_f$ está ocupado y los estados con $k>k_f$ están vacíos. Aquí las partículas de las que hablamos son electrones, por lo que un estado está ocupado por un electrón con un momento $\mathbf k$ y girar $\sigma$ . $$ |F\rangle=\prod_{|\mathbf k| <k_f,\sigma}c_{\mathbf k,\sigma}^{\dagger} |0\rangle $$ Es crucial entender la diferencia entre $0$ y $|0\rangle$ . $|0\rangle$ es el estado vacío, no tiene ningún estado ocupado. $0$ no es ningún estado y cualquier operador aplicado a $0$ da $0$ .

Creación o destrucción de electrones

En el estado $|F\rangle$ es posible crear electrones de momento $|\mathbf k| >k_f$ con el operador de creación $c_{\mathbf k, \sigma}^{\dagger}$ . También es posible eliminar un electrón de la esfera de Fermi con el operador de destrucción $c_{\mathbf k, \sigma}$ .

Si $|\mathbf k| >k_f$ entonces $c_{\mathbf k, \sigma} |F\rangle = 0$ porque la destrucción de un estado vacío da $0$ . Si $|\mathbf k| <k_f$ entonces $c_{\mathbf k, \sigma}^{\dagger} |F\rangle = 0$ debido al principio de exclusión de Pauli. Es importante distinguir dentro y fuera de la esfera de Fermi debido al principio de exclusión de Pauli.

Cuando un electrón dentro de la Esfera de Fermi ( $|\mathbf k| <k_f$ ) se destruye el estado $\mathbf k, \sigma$ está vacío, se puede llamar a este estado vacío un agujero. El momento total del sistema disminuye entonces en $\mathbf k$ y el giro total también se reduce en $\sigma$ .

Creación o destrucción de agujeros

Este último agujero puede verse como una partícula en sí misma. Tiene espín y momento opuestos. Se crea un agujero en la esfera de Fermi cuando se destruye un electrón en la esfera de Fermi.

Podemos definir operadores de creación y destrucción de agujeros. Digamos que $a_{\mathbf k, \sigma}^{\dagger}$ crea un agujero con el impulso $\mathbf k$ y girar $\sigma$ ( $a_{\mathbf k, \sigma}$ destruye este último agujero). Dijimos que la creación de un agujero es lo mismo que la destrucción de un electrón dentro de la sombra de Fermi, entonces $$ c_{\mathbf k, \sigma} = a_{-\mathbf k,-\sigma}^{\dagger} $$ $c_{\mathbf k, \sigma}$ corresponde a una disminución del momento total y del espín total en $\mathbf k$ y $\sigma$ . $a_{-\mathbf k,-\sigma}^{\dagger}$ está creando una partícula, añadiendo así el correspondiente momento y espín al sistema, aquí el momento total se incrementa en $-\mathbf k$ (y el giro total por $-\sigma$ ).

Es posible que tenga una imagen clásica del problema. Imagina un conjunto de bolas que van hacia la derecha con una velocidad determinada. Si de repente quitas una bola, verás un agujero que va con la misma velocidad pero en dirección contraria. El momento opuesto corresponde a la dirección opuesta.

Cuasipartículas

Sin embargo, hay un problema. La creación de un agujero con impulso $|\mathbf k| > k_f$ es imposible: $$ a_{\mathbf k, \sigma}^{\dagger} |F\rangle = c_{-\mathbf k, -\sigma} |F\rangle = 0 $$ Como sugiere Mudelung, puede ser útil deshacerse de la asimetría. La idea es definir nuevas cuasipartículas. Los operadores de creación y destrucción de cuasipartículas son combinaciones lineales de otros operadores de creación y destrucción. Será posible crear esas cuasipartículas si su momento es mayor o menor que $k_f$ . Si el momento es menor que el radio de Fermi entonces creamos un agujero y si el momento es mayor que $k_f$ creamos un electrón. Todo esto se puede resumir en:

$$\begin{align} \alpha_{\mathbf{k}\sigma}^+=u_\mathbf{k}c_{\mathbf{k}\sigma}^{\dagger}+v_{-\mathbf{k}}c_{\mathbf{k},\sigma}=u_\mathbf{k}c_{\mathbf{k}\sigma}^{\dagger}+v_{\mathbf{k}}a_{\mathbf{k},\sigma}^{\dagger} \\ \alpha_{\mathbf{k}\sigma}=u_\mathbf{k}c_{\mathbf{k}\sigma}+v_{\mathbf{k}}c_{-\mathbf{k},-\sigma}^{\dagger}=u_\mathbf{k}c_{\mathbf{k}\sigma}+v_{\mathbf{k}}a_{\mathbf{k},\sigma} \end{align} $$ con $$ \begin{align} u_\mathbf{k}=1,\; v_\mathbf{k}=0\quad\text{ for }\quad k>k_\text{F}, \\ u_\mathbf{k}=0,\; v_\mathbf{k}=1\quad\text{ for }\quad k<k_\text{F}. \end{align} $$

Ahora tenemos operadores que crean cuasi-partículas que pueden ser agujeros o electrones según se esté dentro o fuera de la superficie de Fermi.