Expresando $1 + \cos(x) + \cos(2x) +... + \cos(nx)$ como suma de dos términos

Question

Pregunta en el título, mi progreso:

dejar $z = \cos(x) + i\sin(x)$

entonces $1 + \cos(x) + \cos(2x) +\dots + \cos(nx) = Re(1 + z + z^2 +\dots + z^n) = Re\left (\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z} \right)$

por series geométricas;

multiplicando $\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}$ por $\overline{1-z}$ obtenemos $1 + \cos(x) + \cos(2x) +\dots + \cos(nx) = Re \left ( \dfrac{(1-z^{n+1})(\overline{1-z})}{|1-z|^2} \right )$

pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

edit: esto es para un curso de análisis complejo, así que agradecería una pista usando el análisis complejo sin usar la función exponencial

Answer 1

Utilice $\sin(a) \cos(b) = \frac{1}{2} \sin(b+a) - \frac{1}{2} \sin(b-a)$ y multiplicar su suma por $\sin\left(x/2\right)$ . $$ \sum_{m=0}^{n} \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos(m x) = \frac{1}{2} \sum_{m=0}^n \left\{\sin \left(\left(m+1-\frac{1}{2}\right)x \right) - \sin\left( \left(m-\frac{1}{2}\right)x \right) \right\} $$ Los telescopios de la suma, es decir $\sum_{m=0}^n \left(f(m+1)-f(m)\right) = f(n+1)-f(0)$ Por lo tanto $$ \sum_{m=0}^{n} \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos(m x) = \sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x \right) - \sin\left(\frac{x}{2} \right) $$ ahora dividir por $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ .

Answer 2

$\textbf{Hint:}$ Utilice La fórmula de De Moivre para calcular $z^{n+1}$ .

$\textbf{Edit:}$ La otra forma de calcular esta suma es escribiendo $\cos x$ como:

$$\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

En mi opinión es la forma más fácil. Simplemente se obtienen dos series geométricas:

$$\sum_{k=0}^{n}\cos kx=\sum_{k=0}^{n} \frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}e^{ikx}+\sum_{k=0}^{n}e^{-ikx}\right)= \\ = \frac{1}{2}\left(\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}+\frac{1-e^{-i(n+1)x}}{1-e^{-ix}}\right)$$

Es igual:

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}+\frac{1-e^{-i(n+1)x}}{1-e^{-ix}}\right)=\frac{1}{2}\frac{(1-e^{i(n+1)x})(1-e^{-ix})+(1-e^{-i(n+1)x})(1-e^{ix})}{1+1-e^{ix}-e^{-ix}}=\frac{2+(e^{inx}+e^{-inx})-(e^{ix}+e^{-ix})-(e^{-inx}+e^{-inx})}{2-(e^{ix}+e^{-ix})}$$

Utilizando de nuevo la fórmula para $\cos$ lo consigues:

$$\frac{1}{2}\frac{2+2\cos nx -2\cos x -2\cos (n+1)x}{2-2\cos x}$$