¿Cómo sigue el teorema de Weierstrass del teorema de Mergelyan?

Question

De acuerdo con los Teoremas 1 y 3 de este artículo de revisión que hemos

De Weierstrass: Supongamos $f$ es una función continua en un circuito cerrado delimitado intervalo de $[a,b] \subset\mathbb{R}$. Para cada $\epsilon > 0$ existe un polinomio $p$ tal que para todos los $x \in [a,b]$ hemos $| f(x)− p(x)| < \epsilon$.

Mergelyan: Si $K$ es un conjunto compacto en $C$ comunicado con el complemento, luego de cada función continua $f\colon K\to \mathbb{C}$ que es holomorphic en el interior de $K$ puede ser aproximada de manera uniforme en $K$ por holomorphic polinomios.

Tanto la Wikipedia y la revisión de decir que esta última es una generalización de la anterior. En qué sentido es esto cierto? ¿Cómo Weierstrass' teorema de seguir a partir de Mergelyan?

Answer 1

La hipótesis de Weierstrass satisfacer la hipótesis de Mergelyan:

$K=[a,b] \subseteq \mathbb C$ es un conjunto compacto comunicado con el complemento.

Desde $K$ ha vacío interior, "holomorphic en el interior de $K$" es cierto.

Las conclusiones de Mergelyan implica que las conclusiones de Weierstrass:

"aproximar uniformemente" es lo mismo que "$| f(x)− p(x)| < \epsilon$ para todos los $x \in K$".