¿Cómo obtienen los operadores de aniquilación y creación?

Question

En el libro que estoy estudiando (Zettili) el autor introduce los operadores de aniquilación y creación por definir en términos de <span class="math-container">$q$</span> y <span class="math-container">$p$</span> y que muestra cómo escribir el hamiltoniano del oscilador armónico en cuanto a ellos. Quiero saber si hay una manera para derivarlos. La forma en que se introducen en el libro parece ser algo que aparece por arte de magia. ¿Cómo surgen de la teoría?

Answer 1

La forma de "derivar" en la vida real es que usted sabe acerca de ellos desde la clásicamecánica. Es absolutamente sorprendente que la historia parece haber olvidado.

Clásica oscilador armónico en forma Hamiltoniana

Considere la posibilidad de un clásico undriven y no amortiguados oscilador armónico. Por lo general, es la ecuación del movimiento es $$\ddot{q} + \omega_0^2 q = 0$$ donde $q$ es la coordenada del oscilador y $\omega_0$ es la frecuencia natural de resonancia. Si suponemos que el Lagrangiano es $$ \mathcal L = \frac{\beta}{2} \dot{q}^2 - \frac{1}{2 \alpha} q^2 \, ,$$ a continuación, la aplicación de Euler-Lagrange ecuación da \begin{align} \frac{d \mathcal L}{dq} - \frac{d}{dt} \frac{d \mathcal L}{d \dot{q}} &= 0 \\ \ddot{q} + \frac{1}{\alpha \beta} q &= 0 \, , \end{align} que es correcto para cualquier $\alpha$ e $\beta$ tal que $1 / \alpha \beta = \omega_0^2$.

Siguiendo el procedimiento habitual para encontrar el Hamiltoniano, obtenemos $$H = \frac{1}{2 \alpha} q^2 + \frac{1}{2 \beta} p^2 $$ donde el impulso $p$ se define como $p \equiv \partial \mathcal L / \partial \dot{q} = \beta \dot{q}$. Hamilton ecuaciones de movimiento son $$ \dot p = - \frac{\partial H}{\partial q} = -q / \alpha \qquad \text{y} \qquad \dot q = \frac{\partial H}{\partial p} = p / \beta $$ o combinado como una ecuación de matriz $$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} q \\ p \end{bmatrix} = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1/\beta \\ - 1 / \alpha & 0 \end{array} \right) \begin{bmatrix} q \\ p \end{bmatrix} \, . $$

Ajustaron las variables

Si definimos $x \equiv A q$ e $y \equiv B p$ con la restricción de que $A/B = \sqrt{\beta / \alpha}$, entonces nuestra Hamilton ecuaciones de movimiento convertirse en $$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \omega_0 \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array} \right) \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \, . $$ Este es un conjunto de primer orden ecuaciones diferenciales acopladas para $x$ e $y$. Para desacoplar las ecuaciones, podemos resolver para los autovectores y autovalores de la matriz. Se$^{[*]}$ $$a \equiv x + i y = \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \text{ with eigenvalue } i \omega_0$$ y $$ a^* \equiv x - i y = \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} \text{ with eigenvalue } -i \omega_0 \, .$$ El $a$ e $a^*$ variables tienen muy simple dependencia del tiempo, es decir, $$\boxed{ \begin{array}{ll} \dot{a} = i \omega_0 a & a(t) = a(0) e^{i \omega_0 t} \\ \dot{a}^* = -i \omega_0 a^* & a^*(t) = a^*(0) e^{-i \omega_0 t} \end{array} } $$

Discusión

1. La ecuación de $a$ e $a^*$ en términos de $x$ e $y$ (o en términos de $q$ e $p$) espejo de la cuantía de las ecuaciones de $\hat a$ e $\hat a^\dagger$.

2. El tiempo de evolución de $a$ e $a^*$ es el mismo que para $a$ e $a^\dagger$ en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica.

Como podemos ver, el $\hat a$ e $\hat a^\dagger$ operadores definitivamente no vienen sólo de la mecánica cuántica, como son directos análogos a las variables que diagonalize el Hamiltoniano de la evolución de la matriz de los clásicos del oscilador armónico.

Más notas

Una gran parte de la razón por $a$ e $a^*$ es útil que hacen que sea fácil de analizar junto y sistemas accionados, en particular a través de perturbativa de métodos. Por ejemplo, el uso de la rotación de la trama y la rotación de onda aproximación, el término de interacción de dos interactuar osciladores $$H_\text{interact} = g x_1 x_2 \, .$$ puede escribirse como $$H_\text{interact} = \frac{g}{4} (a_1 a_2^* + a_1^* a_2) \, ,$$ que es exactamente análoga a la de quantum término de interacción $$\frac{g}{4} ( a_1 a_2^\dagger + a_1^\dagger a_2) \, .$$

Notas a pie de página

$[*]$: No estaba cuidado al hacer las señales a salir la misma manera como lo hacen en la mecánica cuántica, así que en realidad tenemos los autovalores intercambiado en comparación con lo que se consigue con $\hat a$ e $\hat a^\dagger$. Yo también no era cuidadoso al realizar la normalización de salir de la misma manera como lo hace en la mecánica cuántica. Este es un bonito detalle simple que puede ser editado por otra persona, si están interesados.

Answer 2

Quiero saber si hay una manera de derivar de ellos

Uno puede solucionar para que la energía autoestados $|E_n\rangle$ del oscilador armónico cuántico (QHO) sin el uso de la escalera de los operadores y encontrar que

$$H|E_n\rangle = (n + 1/2)\,\hbar\omega\,|E_n\rangle$$

lo que implica que el QHO Hamiltoniano puede ser escrita en la forma

$$H = (N + 1/2)\hbar\omega$$

donde $N$ es el operador número

$$N|E_n\rangle = n|E_n\rangle$$

Ahora, supongamos que el (hermitian) operador $N$ es el producto de una (no hermitian) el operador y sus hermitian conjugado:

$$N = a^\dagger a$$

donde

$$[a,a^\dagger] = c$$

lo que implica

$$aa^\dagger = N + c$$

Un "obvio" opción para $c$ es $c = 1$ , de modo que $H$ puede ser escrito como

$$H = \frac{a^\dagger a + aa^\dagger}{2}\hbar\omega $$

Tenga en cuenta que, hasta ahora, no hay ninguna mención de la escalera de los operadores. Simplemente hemos escrito el Hamiltoniano en términos de un (hermitian) número de operador y, a continuación, escribe que el operador como un producto de una (no hermitian) el operador y sus hermitian conjugado.

Por lo tanto, tomar el siguiente paso de preguntar "¿pero qué estos operadores $a^\dagger$ e $a$ do a una energía eigenstate"?

Mira el colector de $N$ con $a^\dagger$ e $a$:

$$[N,a^\dagger]|E_n\rangle = a^\dagger[a,a^\dagger]|E_n\rangle = a^\dagger|E_n\rangle$$

$$[N,a]|E_n\rangle = [a^\dagger,a]a|E_n\rangle = -a|E_n\rangle$$

así

$$N\,a^\dagger|E_n\rangle = (n + 1)\,a^\dagger|E_n\rangle \Rightarrow a^\dagger|E_n\rangle \propto |E_{n+1}\rangle$$

$$N\,a|E_n\rangle = (n - 1)\,a|E_n\rangle \Rightarrow a|E_n\rangle \propto |E_{n-1}\rangle$$

y ver que estas son en realidad los operadores escalera que conecta la energía autoestados a su adyacente autoestados.

En resumen, nos 'derivados' la escalera de los operadores de partida sólo con el hecho de que, para el QHO,

$$H|E_n\rangle = (n + 1/2)\,\hbar\omega\,|E_n\rangle$$

Answer 3

Una forma de hacerlo es la búsqueda de operadores de $\hat a_-$ e $\hat a_+$ , de modo que $$ [\hat H,\hat a_\pm]=\pm \manejadores\omega \hat a_\pm\, , \etiqueta{1} $$ donde $\hat H$ es el oscilador armónico de Hamilton. Si se pueden encontrar estos, entonces usted tiene \begin{align} \hat H\left[\hat a_+\vert n\rangle\right] &=[\hat H,\hat a_+]\vert n\rangle +\hat a_+\hat H \vert n\rangle\, ,\\ &=\hbar\omega \hat a_+\vert n\rangle +(n+\textstyle\frac{1}{2})\hbar\omega\hat a_+\vert n\rangle\, ,\\ &=(n+1+\textstyle\frac{1}{2})\hbar\omega\hat a_+\vert n\rangle \end{align} desde $\hat H\vert n\rangle = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega\vert n\rangle$. Esto demuestra que $\hat a_+\vert n\rangle$ debe ser proporcional a $\vert n+1\rangle$, con un razonamiento análogo válido para $\hat a_-\vert n\rangle$.

Esto le dará la habitual $\hat a_\pm$ hasta un total de "normalización" de los factores, en el sentido de que, si $\hat a_\pm$ satisfacer (1), por lo que se $\kappa \hat a_\pm$ cualquier $\kappa$. Usted puede solucionar este problema de la "normalización" al exigir que $$ \hat a_+\hat a_-=\frac{\hat H}{\manejadores \omega}-\frac{1}{2}\hat 1\, . $$ Tenga en cuenta que, si $H=\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}x^2$ es la clásica de la mecánica Hamiltoniana para el oscilador armónico, las combinaciones del tipo $\alpha = x+ ip$ e $\alpha^*=x-ip$ se producen de forma natural, como son las combinaciones que tienen una simple evolución en el tiempo, es decir, $d\alpha/dt=i\alpha$ e $d\alpha^*/dt=-i\alpha^*$; realmente no es sorprendente que combinaciones similares debe ocurrir en la mecánica cuántica así.

Answer 4

Otra manera sería observar que $$ \begin{align} [\hat x^2,~\hat p]&=\hat x(\hat p \hat x+i\hbar) - \hat p\hat x\hat x\\ &= 2i\hbar \hat x \end{align} $$ mientras $[\hat p^2,~\hat x]=-2i\hbar \hat p$. Así entonces, podemos ver que este "flip-flop" patrón para el oscilador armónico Hamilton admite una combinación,$$ \left[\hat H,~\hat x+\alpha\hat p\right] =\frac12\left[k \hat x^2 + m^{-1}\hat p^2,~ \hat x+\alpha\hat p\right] =i\manejadores\left(\alpha k \hat x - m^{-1}\hat p\right). $$ Así que estamos buscando a algún tipo de combinación donde $[\hat H,~\hat q]=\lambda \hat q$ pero sólo funciona si $\alpha=-(\alpha m k)^{-1},$ , de modo que $\alpha=\pm i/\sqrt{mk}$ y, por tanto, $\lambda=i\hbar \alpha k=\mp \hbar\omega.$

La clave aquí es que $$[\hat H,~\hat q]=\lambda \hat q$$ means that given an eigenfunction $|\Psi\rangle$ with eigenvalue $v$, $\hat q|\Psi\rangle$ es un eigenfunction de $\hat H$ con autovalor $v+\lambda$, y usted tiene la escalera de los operadores.