¿Es posible demostrar que $M$ es un número entero con $p+M \over x$ es siempre un número entero?

Question

Dado un número primo $p$ y un conjunto $S$ de $n$ números racionales . Multiplicar todos $n$ números racionales obtenemos un número $M$ . Para cada número $x$ en el conjunto $S$ tenemos $\frac{p+M}{x}$ es un entero . ¿Es posible demostrar que $M$ también es un entero ?

Para $n = 2$ , dejemos que $S=\left\{x,y\right\}$ . Entonces $\frac{p+M}{x}=\frac{p}{x}+y$ , $\frac{p+M}{y}=\frac{p}{y}+x$ son números enteros, entonces multiplicando los dos números tenemos $\frac{p^2}{M}+2p + M$ es un número entero, por lo que $\frac{p^2}{M} + M=\alpha$ es un número entero. Si $M=\frac{A}{B}$ con $A$ , $B$ son coprimos, entonces $B^2\times p^2+A^2=\alpha A B$ así que $B|A^2$ entonces $B=1$ Así pues $M$ es un número entero.

¿Es cierto que por cada $n>2$ , $M$ es un número entero? Si no es así, ¿cuáles son las condiciones de $n$ para que $M$ debe ser un número entero?

Editar: Si $M$ es un número entero, entonces es $M$ un poder de $p$ ?

Answer 1

Su planteamiento puede generalizarse para dar que

$$\frac{(p+M)^n}{M}\in\mathbb{Z}.$$

Dejar $M=a/b$ con $\gcd(a,b)=1$ y $b>0$ ,

$$\frac{(bp+a)^n}{ab^{n-1}}\in\mathbb{Z}.$$

Desde $b|(bp+a)^n$ tenemos $b|a^n$ lo que significa $b=1$ . Así

$$\frac{(p+a)^n}{a}\in\mathbb{Z},$$

lo que implica $a|p^n$ y así $a$ es una potencia (positiva o negativa) de $p$ .

Observación. No utilizamos la primalidad de $p$ en ninguna parte de la prueba que $b=1$ sólo en la prueba de que $a$ es una potencia de $p$ .