Puede el AM-G. ¿M ser manipulado como este?

Question

Me fue dada la siguiente pregunta :

Si a + b = 1 , entonces a probar $ a^ab^b + a^bb^a \leq 1 $ , para los números reales positivos , a y b.

Me dirigí a la A. M-G. M Desigualdad.

Tenemos :

$$ \frac{(a+a+a....) \, \text{(a times)} + (b+b+b...) \, \text{(b times)}}{a+b} \geq (a^ab^b)^\frac{1}{a+b} $$

Este rendimientos $ a^2+b^2 \geq a^a b^b $ a " a + b es igual a uno. Uno puede obtener de manera similar $ 2 a b \geq a^b b^a $ , y sumando las dos ecuaciones nos debe de dar la necesaria desigualdad.

Pero rápidamente me di cuenta de el error con la prueba. Para agregar una a veces , cuando a < 1 , es ilógico .

Mi pregunta es si la prueba es correcta , a pesar de la falla.

Y como una cuestión de carácter más general , no

$$ \frac{am + bn}{m+n} \geq (a^mb^n)^\frac{1}{m+n} $$

mantenga pulsado para todos los números reales positivos a,b,m y n ?

Answer 1

La prueba iba a funcionar bien para los enteros positivos, pero eso no es lo suficientemente bueno. Por los reales, podemos demostrar aún más general del teorema de uso de la convexidad del logaritmo. Este es el promedio ponderado de AM-GM que dxiv mencionado en los comentarios, y voy a transcribir una prueba de ello aquí, la integridad.

Ponderado AM-GM: Si $\sum\limits_{i=1}^n w_i=w$ y todos los $w_i, x_i$ son positivos reales, a continuación, $$\frac{1}{w}\sum_{i=1}^n w_ix_i \geq \sqrt[w]{\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}}$$

Prueba: El logaritmo es cóncava (ya que la segunda derivada es negativa), por lo que tenemos $$\ln\left(\frac{1}{w}\sum_{i=1}^n w_ix_i\right)\geq \frac{1}{w}\sum_{i=1}^nw_i\ln(x_i)=\ln\left(\sqrt[w]{\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}}\right)$$ Y puesto que el logaritmo es estrictamente creciente, podemos deshacernos de ellos y preservar la desigualdad, y aquí, el resultado es simplemente un caso especial de $n=2$.