Si$M$ es un contrato compacto,$n$ - múltiple (con límite) entonces$\partial M$ es una esfera de homología (n-1).

Question

Este es el ejercicio 3.3.33 en Hatcher.

Mostrar que si $M$ es un compacto contráctiles $n$-colector, a continuación, $\partial M$ es una homología $(n-1)$-esfera; es decir, $H_i(\partial M; \mathbb{Z}) \approx H_{i}(S^{n-1}; \mathbb{Z})$ para todos los $i$.

Tengo una prueba de esto, en el caso de que $M$ es orientable uso de Lefschetz la dualidad. No sé cómo demostrarlo en el caso de que $M$ es no orientable.

¿Hay alguna razón por la que un compacto contráctiles colector (con límite) debe ser orientable?

Si no, ¿cómo debería probar esto sin orientability?

Answer 1

Un colector con límite está definido para ser orientable si $int(M) = M \setminus \partial M$ es orientable. Ya que simplemente conectado a los colectores son orientables, es suficiente para mostrar que $int(M)$ es simplemente conectado.

De hecho, $int(M)$ es contráctiles. Se sabe que $\partial M$ tiene un cuello abierto vecindario $N$ en $M$ (ver Hatcher, la Proposición 3.42). Deje $h : \partial M \times [0,1) \to N$ ser un homeomorphism tal que $h(x,0) = x$ para todos los $x$. Definir $M' = M \setminus h(\partial M \times [0,1/2)) \subset int(M)$. Este es un homeomórficos copia de $M$. Pero, obviamente, $M'$ es una fuerte deformación de retractarse de $int(M)$, por lo tanto $int(M) \simeq M' \simeq \ast$.

Por el camino, cuello abierto barrios existen para cualquier colector de con límite. Hatcher demuestra que sólo en el caso compacto.