Expectativa y varianza de la tirada de dados iterada

Question

Para el resto de la entrada, asumiremos que cuando digo "dado" o "dados" me refiero a un dado estándar de 6 caras o a algún número de dados estándar de 6 caras. Supongamos que tiro un dado y obtengo un número $n$ y luego ruedo $n$ dados que suman $m$ . ¿Cuál es la media y la varianza de $m$ ?

Parece claro que la media debe ser $(\frac{7}{2})^2$ Hay una probabilidad de 1 en 6 de rodar $k$ dados, y la media de la tirada total de una tirada de $k$ los dados son $\frac72k$ , por lo que la suma de $\frac{7}{12}k$ sobre todos los valores de $k$ da $(\frac{7}{2})^2$ . Esto lo confirma una simulación que hice en un ordenador.

La varianza es menos clara para mí. Sé que cuando rodamos $k$ dado, la varianza de este proceso es $\frac{35}{12}k$ . Con $m$ como en el primer párrafo, $Var(m)=E(m^2)-E(m)^2$ y sabemos lo que $E(m)^2$ es por el párrafo anterior, por lo que es suficiente para averiguar lo que $E(m^2)$ es.

Entonces parece que $E(m^2)=\sum_{i=1}^6 \frac{1}{6} E(m^2|n=i) = \sum_{i=1}^6 Var(m^2|n=i) + E(m|n=i)^2$ debería aguantar, pero sólo enchufando $Var(m^2|n=i)=\frac{35}{12}i$ y $E(m|n=i)=\frac{7}{2}i$ no concuerda con mis resultados experimentales, así que probablemente algo esté mal aquí. ¿Cuál es la forma correcta de calcular esta varianza?

Answer 1

Es posible que desee utilizar el ley de la varianza total

O bien, tomando algo similar a su enfoque:

• con un dado, $E[m]=\frac72$ y $E[m^2]=\frac{91}{6}$ así que $Var[m]=\frac{35}{12}$ ,
• con $n$ dados, $E[m]=\frac{7n}2$ y $Var[m]=\frac{35n}{12}$ así que $E[m^2]=\frac{35n}{12} + \frac{49n^2}4$

Pero usted no sabe $n$ Así que

• $E[m]=\frac16\left(\frac{7}2(1+2+3+4+5+6)\right) = \frac{49}4$
• $E[m^2]=\frac16\left(\frac{35}{12}(1+2+3+4+5+6) + \frac{49}4(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)\right)=196$
• así que $Var[m]=196 - \left(\frac{49}{4}\right)^2 = \frac{735}{16} = 45.9375$