Suma de formulario cerrado para las siguientes series en la grilla euclidiana.

Question

Estoy tratando de encontrar una solución de forma cerrada para la siguiente serie. El $\sqrt{i^2 + j^2}$ en el exponente viene de distancias euclidianas red desde el origen.

$x = \sum_{i,j} e^{-\sqrt{i^2 + j^2}}$

donde $i,j$ rango de $0$ hasta el infinito.

Parece que esta expresión no es una serie geométrica, así que tengo problemas para su análisis. Hice algunas simulaciones para darse cuenta de que el valor converge rápidamente. Para $i,j$ en el rango (0,40), y el uso de punto flotante de doble precisión, el valor converge a $2.95878712840391$. La alteración de la gama de $i,j$ ya no cambia la suma debido a que el incremento de los valores que están más allá de la precisión de punto flotante decimal.

Te agradecería mucho un poco de ayuda en el acercamiento a esta serie, y si hay una manera para que la represente en forma cerrada. O si hay una manera de aproximar la respuesta a una precisión deseada.

Answer 1

Por dejar que $$ r_2(n)=\left|\{(a,b)\in\mathbb{Z}^2:a^2+b^2=n\}\right|$$ tenemos $r_2(n) = 4(\chi_4 * 1)(n) = 4\sum_{d\mid n}\chi_4(d)$, $\chi_4(n)=1$ si $n\equiv 1\pmod{4}$, $\chi_4(n)=-1$ si $n\equiv -1\pmod{4}$ e $\chi_4(n)=0$ si $n$ es incluso (es decir, $\chi_4$ no es la principal carácter de Dirichlet $\!\!\!\pmod{4}$).
De ello se sigue que $$ \sum_{i,j\geq 0}e^{-\sqrt{i^2+j^2}} = 1+4\sum_{n\geq 1}(\chi_4*1)(n) e^{-\sqrt{n}} $$ donde $(\chi_4*1)(n)$ tiene un moderado comportamiento errático, sino $e^{-\sqrt{n}}$ converge a cero muy rápido, de tal manera que en el fin de calcular el LHS a $N$ cifras es suficiente para calcular los $\sum_{n=1}^{N^2}(\chi_4*1)(n) e^{-\sqrt{n}}$. Como alternativa, hemos $$ e^{-\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}e^{-s^2/4}e^{-n/s^2}\,ds=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{1}{4s}}e^{-ns}\,\frac{ds}{s^{3/2}} $$ por lo tanto mediante el establecimiento de $$\Theta(x)=\sum_{n\geq 0} x^{n^2} $$ tenemos $$ \sum_{i,j\geq 0}e^{-\sqrt{i^2+j^2}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\Theta^2(e^{-s^2}) e^{-\frac{1}{4s^2}}\frac{ds}{s^{2}} $$ donde el lado derecho se puede aproximar a través de algoritmos de integración numérica, especialmente si se combina con la identidad funcional para la Jacobi $\Theta$ función, que es una consecuencia de la distribución de Poisson suma fórmula. Mis cálculos apuntan hacia un valor aproximado de $\color{green}{2.9587871284039}\color{red}{3}$.