¿Es$∂_\mu + i e A_\mu$ una "derivada covariante" en el sentido de la geometría diferencial?

Question

He escuchado la expresión "$∂_\mu + i e A_\mu$" a que se refiere como una "derivada covariante" en el contexto de la teoría cuántica de campos. Pero en la geometría diferencial, covariante de sus derivados tienen una apariencia diferente significado. Mientras que el $i$-ésima componente de la ordinaria derivado en la $j$-th dirección de un vector $v$ es $∂_j v^{\,i}$, la derivada covariante es $∂_j v^{\,i} + v^{\,k}\Gamma^i_{\,k\,j}$, donde el $\Gamma^i_{\,k\,j}$ son los símbolos de Christoffel que codifican para la conexión de un colector.

Cómo estrechamente relacionado con estos dos significados de "derivada covariante"? Es bastante superficial, en la que ambos contextos tienen un tipo de derivado que es covariante bajo alguna forma de transformación de coordenadas (arbitraria de la geometría diferencial, Lorentz para QFT)? O es más profunda, en la que el "$+ieA_\mu$" plazo genuinamente representa la conexión de los coeficientes/símbolos de Christoffel de la geometría diferencial, en algunos de manera directa?

Answer 1

Es el mismo. Los matemáticos se refieren a una teoría de gauge configuración como un haz de fibras. $A_\mu$ toma el papel de una conexión a la fibra de paquete. Por supuesto, de los tres índices de la Cristoffel símbolos $\Gamma^i{}_{jk}$ tienen dos índices de "vivir" en la fibra. Se puede apreciar este más fácilmente si usted mira no Abelian medidor de teorías, en la que $(A_\mu)_{ij}=A_\mu^a T_{ij}^a$.

ADDENDUM:

1. ¿Por qué importa? Si usted está interesado sólo en la informática de la NNNLO corrección en algunos QFT proceso, y usted está en un apuro, puede posponer buscando en estas cosas. De lo contrario, en mi humilde opinión que se benefician enormemente de mirar la descripción geométrica, lo que produce un universal descripción de la gravedad, el electromagnetismo, y las fuertes y débiles fuerzas.
2. Es esta interpretación de nuevo? No en todos. Recordemos que la edad de Kaluza-Klein idea que ya se ha hecho esta conexión. La U(1) del electromagnetismo fue "derivado" de las simetrías de un compacto $\mathbf{S}^1$. Por supuesto, en este caso el espacio compacto es 1-dimensional, por lo que es más difícil de apreciar que $A$ tiene dos índices en ese espacio.
3. ¿Qué es esto? En el momento en que usted quiere entender por qué, por ejemplo, un instanton número es un número entero, este es el TRABAJO más fácil. Todo se reduce a alguna de las más fáciles de topología de declaraciones.
4. Donde puede uno leer más? Hay muchas fuentes, siendo una de ellas Nakahara del libro de texto sobre "la Geometría, la topología y física", y si no quieres comprar un libro, usted puede ver por ejemplo en estas notas.

Answer 2

Voy a ampliar la respuesta existente con un par de puntos se explica en más detalle aquí; me referiré a los números de sección en el mismo, como sea apropiado, y que me perdone mi cambio a su notación.

Yang-Mills de la teoría de gauge derivada covariante $D_\mu$ está construido de modo tal que $\psi\to U\psi$ con $U$ en la Mentira de grupo impone $D_\mu\psi\to UD_\mu\psi$, y podemos demostrar $[D_\mu,\,D_\nu]=igF_{\mu\nu}$ (1.2.2). El análogo tratamiento de la gravedad general de transformaciones de coordenadas (GCT) como el indicador de las transformaciones (1.3.1), por lo que la GCT $T_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}\to \tilde{T}_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}$ impone $\nabla_\lambda T_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}\to \nabla_\lambda \tilde{T}_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}$. Mientras que los símbolos de Christoffel de jugar el papel de $A_\mu$, el tensor de Riemann es análoga a $F_{\mu\nu}$ desde $[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]A_\rho=R_{\mu\nu\rho\sigma}A^\sigma$.

Nos puede "derivar" de la relatividad general de gauge de la teoría de los principios, tal como podemos electromagnetismo (1.1); que la gravedad es atractiva se opone a que un spin-1 gravitón, y que las lentes de los fotones se opone a que un spin-0 gravitón, así que debemos tener un spin-2 gravitón en su lugar. Esta diferencia a la del Modelo Estándar de calibre bosones sugiere que la gravedad es un "cuadrado" teoría de gauge, una idea formalizado en la KLT-relaciones (9.1), que históricamente se originó en la teoría de cuerdas, pero puede ser derivado desde el tratamiento habitual de Feynman-diagrama de amplitudes.

Aparte de eso, sin embargo, un efectivo de la teoría de campo puede ser obtenida (8) a pesar de las 4 dimensiones de la gravedad cuántica de la nonrenormalisability. El tratamiento de la gravitón traza como un campo escalar corrige el EFT parámetros (8.4.1), lo que resulta en correcciones cuánticas a la potencial Newtoniano (8.5) y de Reissner–Nordström métrica (8.6).