Si esto es sólo un casual enigma, entonces estoy de acuerdo con la aceptada respuesta. Sin embargo, si queremos ser matemáticamente estricto, afirmo que la $3$ e $4$ no son soluciones de la ecuación, porque se encuentran fuera del dominio.
Descargo de responsabilidad: en este post solo me considere la posibilidad real de exponenciación. No es mi intención de bucear en los números complejos.
Lo que queremos decir mediante la solución de una ecuación como $f(x) = g(x)$ es encontrar todos los $x$ , de forma que ambos lados tengan sentido y evaluar la igualdad. Por lo tanto el primer paso es siempre la determinación de la intersección de los dominios de $f$ e $g$ - es decir, el conjunto de todos los $x$ , de forma que ambos lados tienen sentido. Vamos a considerar lo que sería en su caso.
El lado izquierdo de la ecuación, naturalmente, se descompone de la siguiente manera:
$$(x^2-7x+11)^{x^2-7x+6} = p(q_1(x), q_2(x))$$
donde
$$\begin{align*}
q_1(x) & = x^2-7x+11 \\
q_2(x) & = x^2-7x+6 \\
p(a, b) & = a^b
\end{align*}$$
Así que tenemos que determinar el conjunto de todos los $(a, b)$ tal que $a^b$ tiene sentido (es decir, el dominio de la exponenciación) y, a continuación, encontrar el conjunto de todos los $x$ tal manera que el par $(q_1(x), q_2(x))$ pertenece a este conjunto.
Y aquí está el problema.
No hay manera uniforme para definir a $(-1)^5$ e $3^{\sqrt{2}}$. Estos son los diferentes tipos de exponenciación - el primero se obtiene de la multiplicación repetida, la segunda es el resultado de un proceso de límite, y ni la definición de obras para el otro lado. Así que tenemos una opción: si permitimos que los cero y los números negativos como la base, el exponente debe ser un entero no negativo, por lo que el dominio es $\mathbb{R} \times \mathbb{N}$. Si excluimos $0$ como base, podemos utilizar exponentes negativos, lo que hace que el dominio $(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}) \times \mathbb{Z}$. Si queremos ir más allá y excluir a los números negativos como bases, podemos utilizar los límites de pasar a real exponentes, por lo que el dominio se convierte en $(0, \infty) \times \mathbb{R}$.
Uno podría argumentar que, dado que los tres tipos de exponenciación pares de acuerdo en las intersecciones de sus dominios, nos puede pegar, es decir, considerar la exponenciación en $\mathbb{R} \times \mathbb{N} \cup (\mathbb{R} \setminus \{0\}) \times \mathbb{Z} \cup (0, \infty) \times \mathbb{R}$. Pero esto no sería natural, inútil y - en mi opinión - feo.
Ahora: que la exponenciación hace la ecuación original? Si el uno con natural o integral de los exponentes, entonces tendríamos que restringir el dominio de los $x$ para que $x^2-7x+6$ es un número entero. Que no le parece correcto.
Por lo tanto nos quedamos con la tercera, lo que significa que no debemos considerar los $x$ para que $x^2-7x+11$ es negativo. Esto descarta $3$ e $4$ como posibles soluciones*.
Por supuesto, si se acaba de sustituir a $x=2$, obtenemos
$$1^{-4} = 1$$
que sabemos que es verdadero y si sustituimos $x=3$, obtenemos
$$(-1)^{-6} = 1$$
lo que sabemos es igualmente cierto, que conduce a una ilusión de que ambas soluciones están en igualdad de condiciones. Pero que ilusión resultados de usar la misma notación $a^b$ para dos tipos diferentes de exponenciación y no para pasar a un nivel más estricto.
*Nota: elegí el tipo de exponenciación que me pareció mejor encajan con la ecuación. De hecho, de que la elección es una parte inseparable del problema, de modo que se debe eliminar la ambigüedad por el autor de la ecuación (y declaró a su lado).
