¿Existe una propiedad en los matematicas, que explique porque la sucesión (x+1)^n - x^n siempre da igual a un numero Impar?

Question

Hola Bueno, soy un estudiante y recientemente me puse a jugar con números.

Primero a los números enteros del 1-10 los eleve en su potencia del 2-5.

Luego me di cuenta que la diferencia entre el cuadrado del siguiente numero real al cuadrado del numero real da siempre un numero impar.

Por ultimo, repetí el proceso en todos los demás resultados, y todos dan un numero impar.

Debido a mi desconocimiento no se si existe una propiedad que explique porque da siempre un impar, o simplemente es un patrón mas sin sentido alguno o incluso que sea por una obviedad que estoy omitiendo. Reitero, solo estoy jugando

Psdt: Tuve un error en la imagen 2, la formula que idee es (x+1)^n - (x)^n= Impar Psdt 2: Como dato curioso me di cuenta una gran cantidad de resultados de diferencias de las potencias 2, 3, 5 son numeros primos mientras que en la potencia 4 no.... Curioso no?

Answer 1

1.- Supongamos "x es par" // x+1 es impar // (x+1)^n es impar // x^n es par // Luego : impar - par = impar Por lo tanto se cumple.

2.- Supongamos "x es impar" // x+1 es par // (x+1)^n es par // x^n es impar // Luego : par - impar = impar Por lo tanto se cumple. CONCLUSIÓN : SE CUMPLE PARA TODO x NATURAL, SEA PAR O IMPAR.