Supongamos que $f : \mathbb R \to \mathbb R$ es tal que la preimagen de cada punto bajo $f$ es denso en $\mathbb R$ . Esto, por supuesto, implica que $f$ es suryente, y por lo tanto tiene un inverso derecho $\mathbb R \to \mathbb R$ .
Mi pregunta es: ¿se $f$ necesariamente tienen un continuo ¿Inversión correcta?
Esta es una pregunta que me hice mientras pensaba en otro puesto . La conexión es ciertamente tenue, pero de todos modos encuentro esta cuestión independientemente interesante.
Se puede reformular lo anterior (casi de forma equivalente) de la siguiente manera:
Dada una familia $\{ X_{\alpha} \}_{\alpha \in \mathbb R}$ de subconjuntos densos de $\mathbb R$ ¿podemos encontrar siempre un continuo "mapa representativo", es decir, una función $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $f(\alpha) \in X_\alpha$ por cada $\alpha \in \mathbb R$ ?
Esta última cuestión me parece aún más natural. Dicho así, está claro que, aunque tenemos una fuerte restricción sobre cualquier individuo $X_\alpha$ Parece que hay poca o ninguna relación entre los diferentes $\alpha$ 's. En ausencia de tales restricciones topológicas, considero extremadamente improbable una respuesta positiva a la pregunta anterior. Sin embargo, tampoco puedo construir un contraejemplo.
Gracias.
