Análisis complejo, las funciones de todo

Question

Probar si $f$ y $g$ entero y $e^f+e^g=1$, entonces $f$ y $g$ constante.

Creo que la más simple forma sería utilizar Teorema de Louiville usando el teorema de Pick, pero no estoy seguro sobre cómo ir sobre esto.

Answer 1

Uso el pequeño Teorema de Picard:

Si una función $f : \mathbb C\rightarrow \mathbb C$ es todo y no constante, entonces el conjunto de valores que $f(z)$ asume es el entero plano complejo o plano menos un único punto.

El rango de $e^f$ no contiene $0$. También no contiene $1$ (de lo contrario tendríamos: $1 + e^g = 1 \implies e^g = 0$, una contradicción). Por lo tanto, es constante.