Una desigualdad con$\cos$ y lados de triángulos.

Question

Aquí está el problema:

Deje que$ABC$ sea un triángulo con lados$a, b, c$. Muestra esa $\dfrac{\cos A}{a^3}+\dfrac{\cos B}{b^3}+\dfrac{\cos C}{c^3}\geq\dfrac{3}{2abc}.$

Aquí está mi intento:

Por la fórmula del coseno, tenemos$\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ etc, que el lado izquierdo se puede transformar en:

\begin{equation*} \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc^3}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ab^3c}+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2a^3bc} \end{ecuación*}

Y luego estoy atascado. ¿Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Ya casi terminas. Si eliminas$\frac{1}{2abc}$ de la expresión que obtuviste, obtienes$$\frac{1}{2abc}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{c^2}+\frac{a^2+c^2-b^2}{b^2} + \frac{b^2+c^2-a^2}{a^2}\right).$ $, así que solo necesitas probar$\frac{a^2+b^2-c^2}{c^2}+\frac{a^2+c^2-b^2}{b^2} + \frac{b^2+c^2-a^2}{a^2}\ge 3$. Al escribir \begin{align}&\frac{a^2+b^2-c^2}{c^2}+\frac{a^2+c^2-b^2}{b^2} + \frac{b^2+c^2-a^2}{a^2} \\ &= \left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right) + \left(\frac{a^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right) + \left(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2}\right) - 3\end {align} es suficiente para mostrar que cada uno de los términos entre paréntesis es al menos$2$. ¿Por qué es eso cierto?

Answer 2

PS