Determinación de la negación de la clase de fórmula

Question

En primer lugar, esta pregunta es estrictamente en el contexto de la Inversa de las Matemáticas, donde varias de comprensión y varios axioma de elección puede no estar disponible.

Pregunta:$\text{RCA}_0$, $\Sigma_1^0$- DET en el Espacio de Baire, se hace necesario $\Pi_1^0$-DET en Baire el Espacio? (Juegos en Baire, el Espacio es el único tipo considerado en el libro de Simpson).

Por ejemplo, es claro que $\Sigma_1^0$-DET en Cantor espacio implica $\Pi_1^0$-DET en el Espacio de Cantor. Dado un $\Pi_1^0$ fórmula $\varphi(f)$. Consideran que el nuevo $\Sigma_1^0$$\neg\varphi(0*f)$$\neg\varphi(1*f)$.

Caso 1: Si existe un $i$ ($i = 0$ o $i = 1$) de tal forma que el Jugador II tiene una estrategia ganadora $T'$$\neg\varphi(i*f)$, entonces el Jugador I tiene una estrategia ganadora $S$ $\varphi(f)$ donde $S$ juega $i$ en el primer movimiento y, a continuación, de la siguiente manera $T'$.

Caso 2 : Si el jugador I tiene una estrategia ganadora $S'$ $\neg\varphi(0*f)$ y una estrategia ganadora $S''$$\neg\varphi(1*f)$, entonces el jugador II tiene una ganancia de $T$$\varphi(f)$, el cual es descrito de la siguiente manera, si el Jugador que juega $0$, entonces el jugador II de la siguiente manera $S'$ y si el Jugador que juega $1$, entonces el Jugador II de la siguiente manera $S''$.

Tenga en cuenta que el anterior no requiere el axioma de elección, porque en el segundo caso, he construido $T$ por el mero hecho de la combinación de dos estrategias de $S'$$S''$.

Este argumento no vale para juegos en Baire el Espacio, ya que el análogo para el caso II sería que para todos los $i \in \mathbb{N}$, jugador que tiene una estrategia ganadora $S_i'$$\neg\varphi(i*f)$. Sin embargo, ahora no puedo combinar todos estos, junto con la estrategia para conseguir una estrategia ganadora para $\varphi(f)$.

Parece que puede haber oído que este hecho es cierto incluso para los juegos en Espacio de Baire. Si esta demanda se conoce para ser cierto, y ¿cómo es probado. Gracias por cualquier ayuda que pueda ofrecer.

Answer 1

Dada una fórmula $\phi(f)$ donde $f$ rangos de Baire espacio, vamos a $\psi(f)$ se define como $\lnot \phi(f')$ donde $f'(n) = f(n+1)$. Así que, básicamente, en el juego de $\psi$ el primer movimiento es ignorado, después de que el jugador II se lleva el primer paso para intentar hacer de $\phi(f')$ mantener (en realidad el segundo movimiento del juego), mientras que el jugador obtiene el segundo movimiento (en realidad es el tercero) y el primer jugador que intenta hacer de $\phi(f')$ no espera. Las complejidades de la $\phi$ $\psi$ será complementaria en la aritmética o analítico de jerarquía, y los roles de los dos jugadores también se invierte.

Supongamos que el jugador I tiene una estrategia ganadora $s$ juego $\psi$, lo que significa que $\psi(s(g))$ mantiene para cualquier $g \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$. Entonces el jugador II puede ganar $\phi$ sólo por el uso de esta estrategia y de pretender que los dos jugadores que se han intercambiado los papeles. En particular, cuando el jugador me ha jugado una secuencia finita $\sigma$, jugador II simplemente calcular el número de $s(\sigma) \in \mathbb{N}$ y jugar a este número. Esto le da una estrategia de $s^*$ para el jugador II en el juego de $\phi$.

Decir jugador que juega una secuencia infinita de movimientos $g$ juego $\phi$. A continuación, $\psi(s(g))$ celebrará, por definición de $s$, lo $\phi(s(g)')$ no va a aguantar. Pero $s^*(g) = s(g)'$ $\phi(s^*(g))$ no va a aguantar, es decir, el jugador II va a ganar el juego de $\phi$ el uso de la estrategia de $s^*$ contra $g$.

Del mismo modo, si el jugador II tiene una estrategia ganadora $s$ juego $\psi$, lo que da una manera de hacer $\phi(f')$ espera, entonces jugador que puede ganar el juego de $\phi$, mediante el uso de la estrategia ganadora para $\psi$ y pretender que los dos jugadores que se han intercambiado los papeles. Ahora la estrategia de $s^*$ para el jugador I se define de $s$ arbitrariamente dejando $s^*(\sigma) = s(0 * \sigma)$; la elección de $0$ no importa, porque a $s$ es una estrategia ganadora para II en el juego de $\psi$.

Dicen que el jugador II reproduce una secuencia infinita $g$ contra $\phi$. A continuación, $\phi(s(0 * g)')$ debido a la $s$ es la ganancia para el jugador II en el juego de $\psi$. De nuevo $s^*(g) = s(0 * g)'$, aunque el cálculo es diferente porque $s^*$ es ahora una estrategia para el jugador I. Desde $\phi(s^*(g))$ mantiene, jugador que va a ganar el juego de $\phi$ II cuando juega $g$.

Esto demuestra que la determinación de aspectos complementarios de las clases de todo el camino hasta la aritmética y analítico de jerarquías. Comparando esto con el argumento de la pregunta, el truco es simplemente descartar el primer movimiento, en lugar de intentar hacer algo con ella.