Olimpiada De La Desigualdad Problema

Question

Considerar tres positivos reales $x,y,z$ tal que $xyz=1$.

¿Cómo se podría ir sobre la que acrediten:

$$\frac{x^5y^5}{x^2+y^2}+\frac{y^5z^5}{y^2+z^2}+\frac{x^5z^5}{x^2+z^2}\ge \frac{3}{2}$$

Yo realmente no saben ni por dónde empezar! Se parece un POCO a Nesbitts? Tal vez?

Answer 1

En realidad puede ser reducido a Nesbitt la desigualdad con bastante rapidez. Homogeneizar la ecuación dividiendo por $x^3y^3z^3 (= 1)$. Entonces, ¿qué quieres demostrar que es $${x^2y^2 \over x^2z^2 + y^2z^2} + {y^2z^2 \over x^2y^2 + x^2z^2} + {x^2z^2 \over x^2y^2 + y^2z^2} \geq {3 \over 2}$$ Esto es exactamente Nesbitt la desigualdad con los parámetros de $x^2y^2$, $x^2z^2$, y $y^2z^2$.

Answer 2

Edit. He publicado una nueva "prueba" (ahora suprimido), antes de que me di cuenta de que estaba adddressing la pregunta equivocada. Creo que el original de la prueba está bien, he metido algo en el intento de simplificar el enfoque.

Sugerencia.

Dado que esta es una olimpiada problema, es probable que haya una prueba sin el uso de cálculo. Yo estoy perfilando uno aquí, pero tengo la sensación de que puede mejorado considerablemente.

Paso 1. Hacer la sustitución $x = 1/a$, $y = 1/b$ y $z = 1/c$, por lo que el $abc = 1$. Ahora estamos a la izquierda con la expresión $$\sum \frac{1}{a^3b^3 (a^2+b^2)} = \sum \frac{c^3}{a^2+b^2} = \frac{a^3}{b^2+c^2} + \frac{b^3}{c^2+a^2} + \frac{c^3}{a^2+b^2}.$$

Paso 2. Asumir la orden de $a \leq b \leq c$ sin pérdida de generalidad. A continuación, mostrar que $$\frac{a^2}{b^2+c^2} \leq \frac{b^2}{c^2+a^2} \leq \frac{c^2}{a^2+b^2}.$$ Ahora, por el "de Chebyshev de la suma de la desigualdad", tenemos: $$\frac{a^3}{b^2+c^2} + \frac{b^3}{c^2+a^2} + \frac{c^3}{a^2+b^2} \geq \frac{1}{3} (a+b+c) \cdot \left( \frac{a^2}{b^2+c^2} + \frac{b^2}{c^2+a^2} + \frac{c^2}{a^2+b^2} \right).$$

Paso 3. Para cualquier $u,v,w > 0$, demostrar que $$\frac{u}{v+w} + \frac{v}{w+u} + \frac{w}{u+v} \geq \frac{3}{2}.$$

Paso 4. La conclusión de la desigualdad mediante la conexión de la tercera desigualdad en el segundo.

Answer 3

Lo siento, no sé de látex. Pero, mi solución es la siguiente:

1. Deshacerse de los denominadores.

2. Multiplicar el resultado por 2.

3. Expanda de productos. Obtendrás cíclico sumas.

4. Lado izquierdo será algo como: cyc(7, 7, 0) + cyc(7, 5, 2) + cyc(5, 5, 4)

5. Homogeneizar la derecha por multiplicating por la raíz cúbica de xyz a las 8 de la energía. De esa manera la suma de los exponentes de ambos lados de esta desigualdad será de 14. Habrá 24 de términos en el lado izquierdo y el 24 de términos en el lado derecho.

6. Finalmente, usted tiene que probar:

2( cyc(7, 7, 0) + cyc(7, 5, 2) + cyc(5, 5, 4) ) ≥ 3 ( cyc(20/3, 14/3, 8/3) + 2*cyc(14/3, 14/3, 14/3)

1. Pero, que pasa a ser Muirhead del Teorema. Hecho!