caminar al azar a lo largo de los bordes del tetraedro, ¿qué cara recibe el último golpe?

Question

Supongamos que tenemos un tetraedro $abcd$, y empezar en el borde de la $ab$. Ahora a pie a cualquier "adyacentes" extremo (es decir, en este caso cualquiera de los bordes otros de $cd$), cada uno con la misma probabilidad $1/4$. Esto le da un estacionario proceso de Markov en los bordes.

Caminar de un extremo a otro de forma exclusiva determina la cara que se comparten. En este caso, decimos que la cara fue "un golpe." Por ejemplo, si usted comienza en el borde de la $ab$ y caminar a la orilla $bd$ a continuación, se enfrentan $abd$ ha sido golpeado. A medida que continuamos el paseo aleatorio de forma indefinida, la probabilidad de enfoques $1$ que cada rostro ha sufrido al menos una vez.

¿Cuál es la probabilidad de que la cara de $abc$ es la última de las cuatro caras, para ser exitosa? Esto nos dice que la probabilidad de cada cara, ya que la probabilidad de $abc$ $abd$ siendo el último de la cara el golpe es la misma por la simetría (desde que se inicio en el borde de la $ab$), y de manera similar, la probabilidad de $bcd$ $acd$ ser golpeado último también es el mismo.

La respuesta que yo querría es que la probabilidad de ser golpeado último es el mismo para cada cara $1/4$, pero no sé si eso es cierto.

Answer 1

Hacer esto de la manera más difícil mediante la construcción de una matriz de transición para$90$ estados [es decir,$6 \times(2^4-1)$, ya que no queremos llegar a todas las caras afectadas], la respuesta es que al comenzar en el borde$ab$ la probabilidad de que$abc$ sea el último hit es$0.2$,$abd$ también$0.2$,$acd$ $0.3$, y$bcd$ también$0.3$. Esto parece plausible.

Estas probabilidades son tan simples que probablemente hay una forma más simple de calcularlas.